Đề chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 trường THCS Diễn Thành - Nghệ An

TRƯỜNG THCS DIỄN THÀNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2025 -2026 MÔN TOÁN – LỚP 8 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1 (4 điểm)a) Tìm x, y Z ∈ thỏa mãn 2 3 2 7 x xy x y − − − = .

b) Cho ba số nguyên dương 1 2 3 , , a a a có tổng bằng 2026 2025 .

Chứng minh rằng 3 3 3 1 2 3 a a a + + chia hết cho 3.

Câu 2 (6 điểm )a)Rút gọn biểu thức A = 2 2 5 1 3 6 2 x x x x x + − + + + − − ( 2, 3 x x ≠ ≠−)

b) Giải phương trình ( )( ) 2 2 3 7 10 216 x x x x − + + =

c) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5.

Câu 3(3 điểm)a)Tìm đa thức dư khi chia đa thức ( ) P x cho đa thức ( )( ) 2 1 4 x x − +

biết ( ) P x chia cho 1 x − được dư là 2026 và khi chia cho 2 4 x + được dư là 2025 6 x + . b)Gia đình chị Huyền muốn xây một cái bể nhỏ ở góc vườn để chủ động tưới rau, bể có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy MNPQ là hình vuông (hình vẽ). Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể sao cho tổng diện tích các mặt làm bể ( bao gồm 4 mặt xung quanh và một mặt đáy) là nhỏ nhất. Biết rằng thể tích của bể là 4m3.

Câu 4(6 điểm)Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia DE cắt đường thẳng AB tại N. Kẻ tia phân giác của góc ADB tia này cắt AO tại I và AB tại F.

a) Chứng minh tam giác AIF cân. b) Chứng minh BF = 2OI. c) Gọi K là giao điểm của BM và CN. Chứng minh CM2 = MK.MB.

Câu 5 (1 điểm)Cho một bảng hình vuông có kích thước 5 5 × . Người ta chia bảng đó thành những ô vuông nhỏ có kích thước 1 1 × rồi viết vào mỗi ô vuông đó một trong các số

-1, 0,1 sau đó tính tổng theo từng cột, từng dòng và từng đường chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.

……….Hết……….

HƯỚNG DẪN CHẤM

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1a Tìm x, y Z ∈ thỏa mãn 2 3 2 7 x xy x y − − − = . (x+2)(x -5-y) = -3 Mà x, y là số nguyên nên x +2, x -5 -y là ước của -3

Nên suy 2 1 5 3

x x y + =  − − = − 

suy ra x= -1, y = -3

2 1 5 3 x x y + = −  − − = 

suy ra x =-3, y = -11

TT suy ra x =-5 và y = -11; x = 1 và y = -3 KL: (x;y)là (-1; -3), (-3; -11); (-5; -11), (1; -3)

1,0

0,5

0,5

1b b) Cho ba số nguyên dương 1 2 3 , , a a a có tổng bằng 2026 2025 .

Chứng minh rằng 3 3 3 1 2 3 a a a + + chia hết cho 3. Ta có 2025 3  suy ra 1 2 3 a a a + + chia hết cho 3

Xét ( )( ) 3 1 1 1 1 1 1 1 3 a a a a a − = − +  (tích ba số nguyên liên tiếp)

Chứng minh tương tự 3 3 2 2 3 3 3, 3 a a a a − −  

Suy ra ( ) 3 3 3 1 2 3 1 2 3 a a a a a a + + − + + chia hết cho 3 Từ đó suy ra đpcm

1,0

0,5 0,5

2a a)Rút gọn biểu thức A = 2 2 5 1 3 6 2 x x x x x + − + + + − − ( 2, 3 x x ≠ ≠−)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 5 3 12 4 3 2 3 2 2 x x x x x x A x x x x x − + − − + − − − = = = + − + − −

3,0

2b b) Giải phương trình ( )( ) 2 2 3 7 10 216 x x x x − + + =

( )( )( ) 3 2 5 216 x x x x − + + = ( )( ) 2 2 2 2 15 216 x x x x + + − =

Đặt 2 2 x x a + = suy ra ( ) 2 15 216 15 216 0 a a a a − = ⇒ − − = Gải ra ta được a = 24 và a = -9 Nếu a = 24 suy ra x = -6 , x = 4 Nếu a = -9 thì x2 + 2x + 9 = 0 vô nghiệm Vậy x = -6, x = 4.

0,5

0,5

0,5

0,5

2c Ta có: ( ) 99 10 1 90 − + = số có 2 chữ số ⇒ Có 90 số có 2 chữ số. Xét từ 10 đến 20 có các số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là :12; 14; 16; 18 ⇒ Có 4 số

0,5