Đề KĐCL học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 trường THCS Hợp Thành - Thanh Hóa

TRƯỜNG THCS HỢP THÀNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

Số báo danh

.....................................

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Năm học 2025 - 2026

Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày 14 tháng 3 năm 2026 (Đề có 02 trang, gồm 09 câu) Câu 1. (2,0 điểm)

Rút gọn biểu thức A ( )

( )

1 1 2 : 1 1 1 1 3 1 1 2

3

2

2 − + +  

  



− + − − − − + − − = x x x x x x x x x x , với 1 ± ≠ x .

Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực , , a b c thỏa mãn a b c 1 + + = và

3 3 3 a b c 4 + + = .

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 P . a bc b ca c ab = + + + + +

Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x, biết: 0 4 2 12 4 1 2 1 2 2 =     − − − − + +     − + x x x x x x .

Câu 4. (2,0 điểm) Có 3 hộp đựng thẻ. Hộp 1 chứa các tấm thẻ đánh số {1; 2; 3}, hộp 2 chứa các tấm thẻ đánh số {2; 4; 6; 8}, hộp 3 chứa các tấm thẻ đánh số {1; 3; 5; 7; 9; 11}. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau.

Tính xác suất để kết quả được chọn là một số lẻ.

Câu 5. (2,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ( ) ( ) ( ) y y x xy y x y x − + = + + + − 2 2 1 2 2 .

2. Cho ba số a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn c b a 1 2 4 = + .

Chứng minh 2 2 2 16 4 c b a Q + + = là một số chính phương. Câu 6. (1,5 điểm) Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B, canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32km.

Tính vận tốc của canô đối với dòng nước.

Câu 7. (1,5 điểm) Trong hình vẽ bên, khi bạn K đứng ở vị trí B , K thấy bức tường

MN vừa che khuất một cây xanh phía sau tường. Biết khoảng cách từ mắt K đến mặt đất là 1,5 AB m = , chiều cao bức tường là 2,5 , MN m = khoảng cách từ K đến bức tường là 0,5 BN m = và khoảng cách từ bức tường đến cây xanh là 2,5 NC m = .

Tính chiều cao của cây xanh phía sau bức tường.

Câu 8. (5,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua E và F cắt BC tại K. Đường thẳng qua B song song AC cắt AK, AD lần lượt tại P, Q.

a. Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆AEF, và 2 . . AB BF AC CE BC + = . b. Qua F kẻ đường thẳng song song AC cắt AK, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh F là trung điểm của MN.

c. Chứng minh rằng ( ) 4 2 2 2

2 ≥ + + + + CF BE AD BC AC AB .

Câu 9. (1,5 điểm) Một đuờng dây điện được nối từ nhà máy ở vị trí A đến hòn đảo C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là CB = 1km, khoảng cách từ B đến A là 4km. Chi phi mỗi km dây điện làm dưới biển là 50000 USD (nối dây điện từ đất liền ra đảo), chi phí mỗi km dây điện làm trên mặt đất là 30000 USD (nối dây điện giữa hai vị trí trên đất liền).

Hỏi điểm S trên bờ (nằm trên đường thẳng AB) cách A bao nhiêu km để tổng chi phí mắc điện từ A đến S và từ S đến C là thấp nhất?

---------------------Hết -------------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

TRƯỜNG THCS HỢP THÀNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Năm học 2025 - 2026

Môn: Toán 8 Ngày 14 tháng 3 năm 2026 (Hướng dẫn chấm có 05 trang, gồm 09 câu)

Câu Nội dung Điểm

1

2,0 Ta có:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

2 2

2 3

2 2

2 3

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2

2 2

1 1 1 2 1 : ; 1 1 1 1 1 3

1 1 3 1 1 : 1 1 1 1

1 3 1 1 1 : 1 1 1

1 2 1 3 1 1: 1 1 1

2 1 1 . 1 1 1

x x x x x A x x x x x x

x x x x A x x x x x

x x x x x x A x x x x

x x x x x x x A x x x x

x x x A x x x x

A

  − − − + + = − + ≠±   − − − − +    

+   − − + = − +   + + − − −  

− − − + + + + + = − − + +

+ − + − + −+ + + = − − + +

+ + − = − + + +

2 1 1 x x = + +

Vậy với 1 x ≠± thì

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

2

2,0 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) a bc a.1 bc a. a b c bc a a b c a b a b a c + = + = + + + = + + + = + +

Tương tự ( )( ) ( )( ) b ca b c a b ;c ab c a c b + = + + + = + +

Nhận thấy nếu a b 0 + = thì do a b c 1 c 1 + + = ⇒ =

3 3 3 a b c 1 ⇒ + + = mà 3 3 3 a b c 4 + + = (vô lí). Do vậy …