Đề thi thử HSG Toán 8 lần 2 năm 2025 - 2026 trường THCS Nga Thiện - Thanh Hóa

UBND XÃ BA ĐÌNH TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 2

NĂM HỌC 2025- 2026

Môn:Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 14/3/2026

Câu 1: ( 4,0 điểm) a)Chứng minh rằng: A = [n3(n2 – 7)2 – 36n] chia hết cho 7 với n∈Z b) Cho 2 2 1 x x + = . Tính giá trị của biểu thức 6 5 4 3 2 3 3 3 2 8 7 A x x x x x x = + + + + + + Câu 2: ( 4,0 điểm)

a) Tìm x biết : ( ) 3 3 3 1 4 4 3 3 4 1 − =       − +       + x x x

b) Tìm cặp số ( ) ,x y nguyên thỏa mãn 2 2 3 x x y + + = c) Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho (x - 2) dư 5, f(x) chia cho (x - 3) dư 7 , f(x) chia cho (x - 2)(x - 3) được thương là 2 1 x − và còn dư. Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn (20242024 + 1) chia hết (a3 + 2025a) b) Cho các số , , , a b c d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

2 2 2 2 6 a b b c c d d a a b b c c d d a + + + + + + + = + + + +

Chứng minh A abcd = là số chính phương. Câu 4: (6,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có góc BDC = 300. Qua C kẻ đường vuông góc với BD cắt BD ở E và cắt phân giác của góc ADB tại M.

a) Tính góc CBM.

b) Chứng minh tứ giác AMBD là hình thang cân.

c) Gọi N là hình chiếu của M trên DA. K là hình chiếu của M trên AB.

Chứng minh ba điểm N, K, E thẳng hàng.

Câu 5: (2,0 điểm). Cho các số dương , , a b c thỏa mãn 3 a b c + + = . Chứng minh

2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + +

--------------------- Hết ------------------- Họ và tên: ..........................................................Số báo danh ...............................................

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn: Toán 8

Câu Nội dung Điể

m Câu 1

(4,0 Điểm)

a 2đ

Chứng minh rằng: A = [n3(n2 – 7)2 – 36n] chia hết cho 7 với n∈Z Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 7 36 7 6 7 6 A n n n n n n n n n       = − − = − − = − −            

( )( ) ( )( )( )( )( )( ) 3 3 7 6 7 6 2 1 3 1 3 2 A n n n n n n n n n n n n = − − − + = + + − − + −

Tích của 7 số nguyên liên tiếp nên A chia hết cho 7

1,0 0,75 0,25 b 2đ

Cho 2 2 1 x x + = . Tính giá trị của biểu thức

6 5 4 3 2 3 3 3 2 8 7 A x x x x x x = + + + + + + Giải: Có

6 5 4 3 2 3 3 3 2 8 7 A x x x x x x = + + + + + +

6 5 4 5 4 3 4 3 2 2

4 2 3 2 2 2 2

2 4 3 2

2 2 2 4 2 4 8 4 11

( 2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) 4( 2 1) 11

( 2 1)( 2 4) 11

x x x x x x x x x x x

x x x x x

= + − + + − + + − + + − +

= + − + + − + + − + + − +

= + − + + + + Do: 2 2 2 1 2 1 0 x x x x + = ⇔ + −= 11 A ⇒ = .

0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2

(4,0 Điểm)

a 1đ

a) ( ) 3 3 3 1 4 4 3 3 4 1 − =       − +       + x x x

Đặt 1 3 3; 4 1 4 4 a x b x a b x = + = − ⇒ + = −

Khi đó ta có:: ( ) 3 3 3 0

3 ( ) 0 0

a

a b a b ab a b b

a b

=   + = + ⇔ + = ⇔ =  = − 

Tìm được 16 12; ;1 3 x = −

0,25 0,25 0,5

b 1đ

Tìm cặp số ( ) ,x y nguyên thỏa mãn 2 2 3 x x y + + = . Giải:

( ) ( )( 2 2 2 2 2 2 3 4 4 12 2 1 11 2 1 2 1 x x y x x y x y x y x y + + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ + − + +

Th1: 2 1 1 3. 2 1 11 6

x y x

x y y

−− = − =   ⇔   −+ = =  

Th2: 2 1 1 2

2 1 11 6

x y x

x y y

−− = = −   ⇔   −+ = − = −  

Th3: 2 1 11 3

2 1 1 6

x y x

x y y

−− = =   ⇔   −+ = − = −  

Th4: 2 1 11 2

2 1 1 6

x y x

x y y

−− = − = −   ⇔   −+ = =  

0,25 0,25 0,25