Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 phường Nam Sầm Sơn - Thanh Hóa

1

UBND PHƯỜNG NAM SẦM SƠN PHÒNG VĂN HÓA- XÃ HỘI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP PHƯỜNG LỚP 8

NĂM HỌC 2025-2026

MÔN: TOÁN Ngày thi: ……………………

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = − +   − + − −  

với 1; 0 x x ≠± ≠

Câu 2: (2,0 điểm) Cho các số thực , , 0 a b c ≠ và không phải là các số đối của nhau,

thỏa mãn 202 ab bc ca + + = . Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2

2 2 2 B 202 202 202

a b b c c a

a b c

+ + + = ⋅ + + +

Câu 3: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: ( 1)( 2)( 6)( 7) 180 x x x x + + − − = .

Câu 4: (2,0 điểm) Có 3 hộp đựng thẻ. Hộp 1 chứa các tấm thẻ đánh số { } 1;2;3 .Hộp 2 chứa các tấm thẻ

đánh số { } 2;4;6;8 . Hộp 3 chứa các tấm thẻ đánh số { } 1;3;5;7;9;11 .Từ mỗi hộp rút

ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả được chọn là một số lẻ. Câu 5: (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 3 3 2 2 3 65( ) 81( 1) x y x y xy + + = +

Câu 6: (1,5 điểm) Cho , , a b c là các số nguyên dương và p là số nguyên tố thỏa mãn 0 . a b c p < < < < Biết rằng 3 3 3 , , a b c có cùng số dư khi chia cho p, chứng minh rằng 2 2 2 a b c + + chia hết cho . a b c + + Câu 7: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF, cắt nhau tại H ( , ; D BC E AC F AB ∈ ∈ ∈ ).

a) Chứng minh   AEF ABC = b) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại M, cắt CF tại N. Chứng minh tam giác FDN cân. Câu 8: (1,5 điểm) Một khối chóp đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 9 dm, diện tích toàn phần bằng 204 và diện tích xung quanh bằng 168 . Giả sử người ta sử dụng khối chóp này để chứa nước tưới tiêu cho cây hoa màu. Biết rằng cứ cách một ngày sẽ phải tưới nước một lần, mỗi lần tưới hết 10 lít nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày sẽ dùng hết số nước trong khối chóp?

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

Câu 9: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm . H Gọi , , D E F lần lượt là chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh , , A B C của tam giác . ABC

Chứng minh rằng

2 2 2 36. AB BC CA HF HD HE       + + ≥            

Câu 10 (1,5 điểm): Một giải cầu lông có ( ) 2 ≥ n n vận động viên tham gia thi đấu theo

thể thức vòng tròn một lượt (hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, không có kết quả hoà). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương số trận thua của các vận động viên là bằng nhau

…………… Hết …………… (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên: …………………………………………………………… SBD: ………

3

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu Nội dung Điểm 1(2 điểm)

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu

thức:

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = − +   − + − −  

với 1; 0 x x ≠± ≠

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = − +   − + − −  

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 1 1 1 2 : 1 1

x x x x x x x x x

+ + − + + − = − −

0,75

( ) ( ) ( )

2 2

2 1 1 2 : 1 1

x x x x x x x x

+ −+ + − = − −

0,5

( ) ( )

( )

2

2

1 1 . 1 1

1

x x x x x x

x x

+ − = + −

= −

0,5

Vậy,

2

1 x P x = − với 1; 0 x x ≠± ≠ 0,25

2(2 điểm)

Câu 2:Cho các số thực , , 0 a b c ≠ và không phải là các số đối của nhau, thỏa mãn 202 ab bc ca + + = . Tính giá trị biểu

thức: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2

2 2 2 B 202 202 202

a b b c c a

a b c

+ + + = ⋅ + + +

Ta có: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 202 a a ab bc ca a a b c a b a b c a + = + + + = + + + = + + 0,5

Tương tự ta được: ( )( ) ( )( ) 2 2 202 ; 202 b a b b c c b c c a + = + + + = + + 0,5

Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2025 202 202

a b b c c a a b b c c a B a b c a a b b c c a b c a b c

+ + + + + + = = + + + + + + + + +

0,5