Đề chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 cụm các trường THCS - Nghệ An

(Đề thi có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn thi: Toán học Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm )

1) Cho biểu thức : 2

4 1 2 4 1 . 1 1 1 1 2 x P x x x x x    = −− − + +    − − + −    với 1; 2 x x  

a) Rút gọn biểu thức P

b)Tìm tất cả các giá trị của x để giá trị của biểu thức P không âm.

2) Trong một chiếc hộp có 100 tấm thẻ giống nhau, được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A “Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên thẻ đó là một số chính phương”.

Câu 2 (5,0 điểm )

a)Giải phương trình: 2 2 2 2 2 2 (2 4 2026) 4( 4 1017) 4(2 4 2026).( 4 1017) x x x x x x x x − − + − + = − − − + −

b) Tìm đa thức ( ) f x biết ( ) f x chia cho ( ) 4 x − dư 2; ( ) f x chia cho ( ) 5 x + dư

11 và ( ) f x chia cho ( ) 2 20 x x + − được thương là ( ) 2 7 x + và còn dư.

c) Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh các sản phẩm điện tử, điện lạnh, gia dụng và công nghệ. Hiện nay,doanh nghiệp đang bán chạy một loại ti vi hãng X với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 25 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng tivi mà khách sẽ mua trong một tháng là 60 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng tivi đang ăn khách này, doanh nghiệp định giảm giá bán và qua khảo sát thực tế thấy rằng, nếu mỗi lần giảm 200 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng ti vi bán ra trong một tháng tăng

10 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá sẽ thu lợi nhận cao nhất? Câu 3 ( 3,0 điểm )

a) Cho , , x y z Z  thỏa mãn 2 2 2 x y z + = . Chứng minh rằng 30 xyz b) Tìm bộ 3 số nguyên tố( , , ) p q r sao cho 1 pq r = + và 2 2 2 2( ) 1 p q r + = +

Câu 4 (7,0 điểm ):

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi , M N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt

, , AB AH AC , lần lượt tại , , I E K a) Chứng minh : BM vuông góc với AN b) Chứng minh : . . ME NK MI NE = c) Biết diện tích của tam giác ABC là S . Tam giác ABC cần thỏa mãn điều kiện

gì để tam giác AIK có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AIK theo S

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 5. (1,0 điểm). Cho một đa giác đều gồm 2025 đỉnh. Người ta tô mỗi đỉnh của đa giác bởi một màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu bởi cùng 1 màu.

......................................................Hết....................................................

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng MTBT

Họ và Tên:........................................................Số báo danh:..................................

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HSG CẤP XÃ LỚP 8, NĂM HỌC 2025-2026 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4 điểm )

1) Cho biểu thức : 2

4 1 2 4 1 . 1 1 1 1 2 x P x x x x x    = −− − + +    − − + −    với 1; 2 x x  

a) Rút gọn biểu thức P

b)Tìm tất cả các giá trị của x để giá trị của biểu thức P không âm.

2) Trong một chiếc hộp có 100 tấm thẻ giống nhau, được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A “Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên thẻ đó là một số chính phương”.

1 ( 3 điểm) a) 2

4 1 2 4 1 . 1 1 1 1 2 x P x x x x x    = −− − + +    − − + −    với 1; 2 x x  

2x(x 1) (x 1) 4 x 2 P x 1 (x 1)(x 1) x 2   − − + − + = −+    + − −  

0,5

2 2x 3x 5 x 2 P x 1 (x 1)(x 1) x 2   − − + = −+    + − −  

0,5

(x 1)(2x 5) x 2 P x 1 (x 1)(x 1) x 2   + − + = −+    + − −  

0,5

2 2 2 (x 1) 2x 5 x 2 x 4 x 2 (x 2) P x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 − + − + − + + =  =  = − − − − − 0,5

Vậy

2 (x 2) P x 1 + = − với x  ±1, x  2.

b)

2 (x 2) P x 1 + = − ĐKXĐ: x  ±1, x  2

Giá trị của biểu thức P không âm, tức là P  0 khi

2 (x 2) 0 x 1 +  −

x 2 0 x 2 x 1 0 x 1 + = = −       −   

0,25 0,25 Ta thấy 2 x = − thỏa mãn ĐKXĐ Với 1 …