Đề chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Xuân Tín - Thanh Hóa

ỦY BAN NHÂN DÂN

XÃ XUÂN TÍN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 - 2026 Môn thi: Toán – Lớp 8

Ngày thi: 18/4/2026 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có: 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức

2 3 3

2 2 5 4 4 5 : x y x y A x y x y x x y xy y   − = +   − − − − +  

với ; x y x y ≠ ≠−

Câu 2. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thỏa mãn 2 2 2 a b c ab bc ca + + = + + . Tính giá trị của

biểu thức 2026 2026 a b b c c a B c a b + + + = + − .

Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình :

2 2 2

2 3 3 9 6 7 2 2 4 x x x x x x   + − −     + =       − + −      

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên dương ( ) ;x y thỏa mãn

( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 0 x y y y xy x y + + + − + − =

Câu 5. (2,0 điểm) Trong một hộp kín có 9 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh, 12 viên bi vàng (có kích thước và hình dạng như nhau chỉ khác màu sắc). Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp.

a) Tính xác suất lấy được viên bi mỗi màu. b) Thêm vào hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh và màu vàng sao cho xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi. Cần thêm ít nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu. Câu 6. (1,5 điểm) Cho x, y, z là các số đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn

( )( ) 2 x z y z z − − = . Chứng minh rằng tích 2 2026 xyz là một số chính phương. Câu 7. (1,5 điểm) Có 2 hộp đựng mứt tết có hình dạng là những đa giác đều. Biết rằng tỉ

số giữa số đo các góc của hai đa giác đều đó là 5 7 . Tính số cạnh của mỗi đa giác đều đó.

Câu 8. (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi AD là tia phân giác của góc BAC. Từ D kẻ DM ⊥ AB, DN ⊥ AC (M ∈ AB, N∈ AC). Gọi E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN.

1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC 2) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆NFA. 3) Gọi P là điểm trên đoạn thẳng AN, Q là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho AP = MQ. Tìm vị trí của P và Q để diện tích tứ giác MQPN đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 9. (1,5 điểm) Cho một lưới ô vuông có kích thước 5 5 × ô. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số 1; 0; 1 − . Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.

----------------------- HẾT ------------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ, tên thí sinh .................................................; Số báo danh ............................................... Chữ ký của cán bộ coi thi 1 ..........................; Chữ ký của cán bộ coi thi 2 ..............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ỦY BAN NHÂN DÂN

XÃ XUÂN TÍN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn: Toán 8 Câu Nội dung Điểm

1

( )( )

( ) ( ) ( )( )

5 4 4 5 2 3 3 2

2 2 5 4 4 5 2 2 : . x x y xy y x y x y x y A x y x y x x y xy y x y x y x y x y x xy y

− − −     − = + = +       − − − − + − + − − + +    

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2 4 4

2 2

4 4 2 2

2 2

.

.

x y x y x x y y x y x y x y x y x xy y

x y x y x xy y x y x y x y x xy y

+ + − − − = − + − + +

− − + + = − + − + +

( )( )

( )( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 . x y x y x y x xy y x y x y x xy y

+ − + + + = − + + +

2 2 x y = + Vậy 2 2 A x y = + với ; x y x y ≠ ≠−

0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

2

Ta có 2 2 2 a b c ab bc ca + + = + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 0

2 2 2 0

0

a b c ab bc ca

a ab b b bc c c ca a

a b b c c a

⇒ + + − − − =

⇒ − + + − + + − + =

⇒ − + − + − =

Lập luận chỉ ra được a b c = =

Ta có 2026 2026 a b b c c a B c a b + + + = + − ( ĐKXĐ 0; 0; 0 a b c ≠ ≠ ≠)

( ) 2026 c a a b b c c a b

+ + + = + −

Thay a = b = c vào biểu thức B và tính kết quả 4048 B = − Vậy 4048 B = −

0,5 0,5 0,25 0,5 0,25

3

Ta có

2 2 2

2 3 3 9 6 7 2 2 4 x x x x x x   + − −     + =       − + −      

(*) ĐKXĐ 2 ; 2 x x ≠ ≠−

Đặt 3 3 ; 2 2 x x a b x x + − = = − + . Khi đó

2

2 9 4 x ab x − = −

Phương trình (*) được viết lại là 2 2 …