Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau

a)

b)

Lời giải

a) Với ta có:

b)

Ví dụ minh họa 2: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.

b) Tìm a để .

c) Tính giá trị của P khi

d) Tìm a để P là một số nguyên.

  1 10 0, 4 4 2 2 x x x A x x x x x          

   13 4 3 7 4 3 8 20 2 43 24 3 B      

  0, 4 x x  

    2 1 2 10 2 8 2 4 4

x x x x x x A x x

           

   13 4 3 7 4 3 8 20 2 43 24 3 B      

    

2 2 2 2 3 1 2 3 8 20 2 4 3 3      

    

2 2 3 3 4 8 20 2 4 3 3 3 3 4 8 28 6 3         

     

2 2 3 3 4 8 3 3 1 43 24 3 8 3 3 1 35         

2 1 : 1 1 2 a a a a P a a

                  

5 P 

3 2 2 a  

Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ta thường thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu đề chưa cho điều kiện). Chú ý điều kiện căn thức, điều kiện mẫu, và điều kiện phần chia. - Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử, kết hợp phân tích tử bằng các phép biến đổi đơn giản. - Bước 3: Bỏ ngoặc, thu gọn các biểu thức một cách hợp lý. Kết hợp điều kiện bài toán để kết luận.

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

e) Tìm a để .

Lời giải

a) Điều kiện:

Rút gọn:

b) Với

(thỏa điều kiện).

Vậy với thì .

c) Khi , thay vào biểu thức P đã được rút gọn, ta có:

d) Ta có:

Để P là một số nguyên thì phải là một số nguyên, suy ra phải là ước nguyên của 2.

Do đó:

Vậy với thì P đạt giá trị nguyên.

1 P 

0 0 1 1 0

a a a a

           

2 1 : 1 1 2 a a a a P a a

                  

    1 2 1 1 : 1 1 2 1

a a a a a a a a

                     

0 1 a a    

  1 5 5 1 5 1 1 a P a a a        

3 9 1 5 5 4 6 2 4 a a a a a         

9 4 a  5 P 

 

2 3 2 2 2 1 a    

 

 

2

2

2 1 1 1 1 2 1 1

a P a

       

2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1

          

1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 a a a P a a a a a             

2 1 a 

1 a 

 

3 1 2 9 2 1 1 4 0 1 1 0 1 1 2 Voâ nghieäm

a a a a a a a a a a a

                              

  0;4;9 a 

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

e) Để

. Kết hợp điều kiện suy ra:

Vậy với thì .

Ví dụ minh họa 3:

Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.

b) Tính giá trị của M, biết rằng

Lời giải

a) Điều kiện:

b) Với

B. CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA

I. CÁC DẠNG TOÁN

Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều

kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên;

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức,… Do vậy, ta phải áp dụng các phương pháp tương ứng,

thích hợp cho từng dạng toán. (Vd 2).

Dạng 1. Rút gọn biểu thức

Bài 1: Rút gọn biểu thức: (với )

Bài 2: Rút gọn biểu thức: với

1 1 1 1 1 0 1 1 a a P a a       

  1 1 2 0 0 1 1

a a

a a

       

1 0 1 a a    

1 a   0 1 a  

0 1 a   1 P 

1

x y y y x x M xy

    

 

2 1 3 3 8 và x y    

0; 0 x y  

1 1

x y y y x x x y y x x y M xy xy

         

      1

1 1

xy x y x y x y xy

x y xy xy

          

   

2 2 3 8 2 1 3 3 2 2 1 và y x        

     

2 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 M         

2 1 1 . 1 1 a a a A a a a

                  0; 1 a a  

1 1 1 1 a a a a M a a

                   0; 1 a a  