Các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông Chương

1

Hệthức lượng trong tam giác vuông

Hệthức lượng và đường cao §1

Tóm tắt lý thuyết 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt AB = c, BC = a, CA = b, AH = h, BH = c′, CH = b′. Khi đó ta có các hệthức sau

✓a2 = b2 + c2

✓a · h = b · c

✓a · b′ = b2

✓a · c′ = c2

✓b′ · c′ = h2

✓ 1 h2 = 1

a2 + 1

b2.

A

B C H

c

b′

b h c′

a

Các ví dụ 2

b Ví dụ1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính BC, AH, BH, CH.

L Lời giải.

Ta có

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 ⇒BC = 5 cm.

AH · BC = AB · AC ⇒AH = AB · AC

BC = 3 · 4

5 = 2,4 cm.

BH · BC = AB2 ⇒BH = AB2

BC = 32

5 = 1,8 cm.

CH = BC −BH = 3,2 cm. A C

H

B

3

4

□

349

350 1. Hệthức lượng và đường cao 350 1. Hệthức lượng và đường cao 350 1. Hệthức lượng và đường cao

b Ví dụ2. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) biết AB = a, BC = 2a. Tính theo a độdài AC và AH.

L Lời giải.

Theo định lí Pitago, ta có BC2 = AB2 + AC2, suy ra

AC2 = BC2 −AB2 = (2a)2 −a2 = 3a2 ⇒AC = a √

3.

Lại có AH · BC = AB · AC ⇒AH = AB · AC

BC = a √

3 2 . A C

H B

a 2a

□

b Ví dụ3. Cho tam giác ABC vuông tại có AB = 3 cm, AC = 4 cm, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC. Tính diện tích tứgiác AEHF.

L Lời giải.

Tứgiác AEHF có ba góc A, E, F là góc vuông nên AEHF là hình chữnhật. Do đó SAEHF = AE · AF. Ta có BC = 5 cm, AH = 2,4 cm, nên trong các tam giác vuông AHB và AHC ta có

AE · AB = AH2 ⇒AE = AH2

AB = 2,76 cm.

AF · AC = AH2 ⇒AF = AH2

AC = 1,44 cm. A

E

C F

H

B

3

4

Suy ra SAEHF = 2,76 · 1,44 = 3,9744 cm2. □

b Ví dụ4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 25 cm, CH = 144 cm. Tính AB, AC, BC, AH.

L Lời giải.

Ta có

BC = BH + HC = 25 + 144 = 169 cm. AB2 = BH · BC = 25 · 169 ⇒AB = 65 cm. AC2 = CH · CB = 144 · 169 ⇒AC = 156 cm. AH=BH · CH = 25 · 144 ⇒AH = 60 cm. A C

H

B

25

144

□

b Ví dụ5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 25

13 cm, AH = 60 13 cm. Tính AB, AC, BC, CH.

L Lời giải.

Giáo viên: .................................... Giáo viên: .................................... Giáo viên: ....................................

351 Chương 1. Hệthức lượng trong tam giác vuông 351 Chương 1. Hệthức lượng trong tam giác vuông 351 Chương 1. Hệthức lượng trong tam giác vuông

Ta có

BH · CH = AH2 ⇒CH = AH2

BH = 144

13 cm.

BC = BH + CH = 13 cm.

AB2 = BH2 + CH2 = 652

132 ⇒AB = 65

13 cm.

AC2 = CH · CB = 144 ⇒AC = 12 cm. A C

H

B

25 13

60 13

□

b Ví dụ6. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH = 12

5 cm và 4AB = 3BC.

Tính AB, AC, BC, AH, CH.

L Lời giải.

Từgiảthiết ta suy ra AB = 3

4BC.

Mặt khác, ta có 1 BH2 = 1 BA2 + 1 BC2. Suy ra

25 144 = 16 9BC2 + 1 BC2 = 25 9BC2 ⇒BC2 = 16 ⇒BC = 4 cm.

Suy ra BA = 3 cm. Từđây, ta tìm được AC = 5 cm, AH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.

B C

H

A

12

5

□

b Ví dụ7. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 √

5 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC và I là giao điểm của AN và BM.

1. Chứng minh rằng AN vuông góc với MB.

2. Tính AI, MI.

3. Tính diện tích tứgiác BINC.

L Lời giải.

1.

Xét hai tam giác ADN và BAM có bA = “ D = 90◦, AD = AB, DN = AM. Suy ra △ADN = △BAM (c-g-c), do đó \ DAN = \ ABM. Suy ra

[ MAI + [ AMI = \ DAN + \ AMB = \ ABM + \ AMB = 90◦.

Từđây, ta có AN ⊥BM.

A

D

M

C

B

N

I

2. Ta có BM 2 = AM 2 + AB2 = 5 + 20 = 25 ⇒BM = 5 cm.

Suy ra MI = AM 2

MB = 1 cm, AI2 = AM 2 −MI2 = 5 −1 = 4 ⇒AI = 2 cm.

3. Ta có SBCNI = SBCN + SBIN = 1

2 (BI · IN + BC · CN) = 11 cm2.

Tài liệu Toán 9 này là của: .................................... Tài liệu Toán 9 này là của: .................................... Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................