Các dạng bài tập đường tròn

Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn Chương

2

Đường tròn

Sựxác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn §1

Tóm tắt lí thuyết 1

1.1 Định nghĩa đường tròn

Định nghĩa 3. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng không đổi bằng R. Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O; R), ta cũng có thểkí hiệu là (O) khi không cần chú ý đến bán kính. O

R

Nhận xét. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M. Khi đó

✓M nằm trên (O; R) khi và chỉkhi OM = R.

✓M nằm bên trong (O; R) khi và chỉkhi OM < R.

✓M nằm bên ngoài (O; R) khi và chỉkhi OM > R.

M1

O

M3 M2

R

1.2 Cách xác định đường tròn

1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó.

2. Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.

3. Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ta vẽđược một và chỉmột đường tròn.

O

R

O A B R R

A

O B C

427

428 1. Sựxác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn 428 1. Sựxác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn 428 1. Sựxác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

1.3 Tính chất đối xứng của đường tròn

Tính chất 2. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Tính chất 3. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳđường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

A A′ O

A

B

C

O

C′

△ ! 23. Đường tròn có một tâm đối xứng và có vô sốtrục đối xứng.

Các ví dụ 2

b Ví dụ1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

L Lời giải.

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = BC

2 .

Suy ra MA = MB = MC = BC

2 .

Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là điểm M và

bán kính R = BC

2 .

A

M B C

□

b Ví dụ2. Chứng minh rằng, nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

L Lời giải.

Xét tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O) đường kính BC. Ta có OA = OB = OC (vì là bán kính của (O)).

Lúc đó AO là trung tuyến ứng với cạnh BC và AO = BC

2 .

Vậy ABC là tam giác vuông tại A.

A

O B C

△ ! 24. Đường tròn qua ba đỉnh của một tam giác vuông thì nó có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng phân nửa độdài cạnh huyền. Ngược lại, một đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác nhận một cạnh của tam giác đó là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.

Giáo viên: .................................... Giáo viên: .................................... Giáo viên: ....................................

429 Chương 2. Đường tròn 429 Chương 2. Đường tròn 429 Chương 2. Đường tròn

□

b Ví dụ3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

L Lời giải.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Dựng các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CA, các đường trung trực này đồng quy tại O, suy ra O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC. Bán kính của đường tròn (O) là R = OA = OB = OC. Vì ABC là tam giác đều nên các đường trung trực này cũng là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Suy ra O cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

A

M B

P

C

N

O

Trong tam giác ABM vuông tại M ta có AM = √

AB2 −BM 2 = …

a2 − a

2

2 = a √

3 2 .

Lại có OA = 2

3AM = 2

3 · a √

3 2 = a √

3 3 .

Vậy bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là R = a √

3 3 . □

b Ví dụ4. Cho hình chữnhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

L Lời giải.

Gọi O là giao điểm AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD. Mà ABCD là hình chữnhật nên AC = BD. Do đó OA = OB = OC = OD hay bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một

đường tròn (O), bán kính R = OA = AC

2 .

Tam giác ABC vuông tại B nên AC = √

AB2 + …