Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 9

THCS.TOANMATH.com Trang 1

MỤC LỤC

CHUYÊN ĐỀ I. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ ............................................................................................................................. 2

Dạng 1. Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức ........................................................... 3

Dạng 2. Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số .......................... 10

Dạng 3. Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên ........................................................................... 15

Dạng 4. Bài toán tổng hợp ..................................................................................................................................... 16

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN ................................................................ 32

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 9

THCS.TOANMATH.com Trang 2

CHUYÊN ĐỀ I. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Căn thức bậc hai

-Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho

2 x a = .

-Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình

phương của nó bằng : a

-Với hai số thực không âm ,a bta có: . a b a b   

-Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

+

2 A A A

A

 = = − 

nếu 0

0

A

A





+ 2 A B A B A B = = với 2 , 0; A B A B A B A B  = = − với 0; 0 A B  

+ 2 . . A A B A B B B B = = với 0, 0 AB B  

+ . M M A A A

= với 0; A (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

+ ( ) M A B M

A B A B

 = − 

với , 0, A B A B   (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)

2. Căn thức bậc ba, bậc n

a. Căn thức bậc 3

Căn bậc 3 của một số akí hiệu là 3 a là số x sao cho

3 x a =

-Cho ( )

3 3 3 3 ; a R a x x a a  =  = =

-Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

-Nếu 0 a  thì 3 0. a 

-Nếu 0 a thì 3 0. a 

-Nếu a 0 = thì 3 0. a =

-

3 3

3 a a b b = với mọi 0. b

- 3 3 3. ab a b = với mọi , . a b

- 3 3 . a b a b   

2 0 0 a x

x a a x

        = =   

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 9

THCS.TOANMATH.com Trang 3

- 3 3 3 . A B A B =

-

3 2 3 A AB B B = với 0 B 

-

3

3

3 A A B B =

-

3 3 2 2 3

3 3 1 A AB B A B A B

+ =  

với . A B 

b. Căn thức bậc n

Cho số , , 2. a n n    Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng .a

-Trường hợp n là số lẻ: 2 1, n k k N = + 

Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

2 1 2 1 . k k a x x a + + =  = nếu 0, a  thì 2 1 0, k a +  nếu 0 a thì 2 1 0, k a +  nếu 0 a = thì 2 1 0 k a + =

-Trường hợp n là số chẵn: 2 , . n k k N = 

Mọi số thực 0 a  đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k

số học của ). a Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2 2, 0 k k a a x x − =   và 2 ; k x a =

2 0 k a x x − =   và

2 . k x a =

B. PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng 2 A A = sau đó dựa vào dấu của A để mở dấu giá trị tuyệt

đối nếu có.

Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:

• ( )( ) 2 2 ; ab bc ca m a m a ab bc ca a b a c + + =  + = + + + = + +

• ( ) ( )( ); a b c n na bc a b c a bc a b a c + + =  + = + + + = + +

• Với 1 abc = thì 1 1 1 1; 1 1 a ab b bc ca c a + + = + + + + + +

• Nếu 0 a b c + + = thì

2

3 3 3

2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 , a b c abc a b c a b c

  + + = + + = + +    

với 0. abc

Ví dụ 1.

Rút gọn các biểu thức:

a. 1 4 A x x x = − − + khi 0. x 

b. 4 2 4 1 4 2 4 1 B x x x x = − −+ + − khi 1. 4 x 