24 chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10 môn Toán và ôn thi vào

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI

A. Kiến thức cần nhớ

1. Căn bậc hai số học

• Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà 2x a = .

• Với 0 a ≥

( )

2 2

0 x x a x a a

≥  = ⇔ = = 

Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương.

Với hai số a, b không âm, thì ta có: a b a b < ⇔ < .

2. Căn thức bậc hai

• Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là

biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

• 0 A ≥ xác định (hay có nghĩa) khi 0 A ≥ .

• Hằng đẳng thức 2 A A = .

3. Chú ý

• Với 0 a ≥ thì:

2 x a x a = ⇒ =

2x a x a = ⇒ = ± .

• ( ) 0 0 A hay B A B A B

≥ ≥  = ⇔ = 

• 0 0 A B A B + = ⇔ = = .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính.

a) 10 và 3; b) 3 2 và 17 ;

c) 35 15 1 + + và 123 ; d) 2 2 + và 2.

Giải

Tìm cách giải. Khi so sánh hai số a và b không dùng số máy tính, ta có thể:

• So sánh a và b

• So sánh ( )

2 a và ( )

2 b

• Sử dụng kĩ thuật làm trội.

Trình bày lời giải

a) Ta có 10 9 10 9 > ⇒ > nên 10 3 > .

b) Xét ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 3 2 3 . 2 18; 17 17 = = =

vì 18 17 > nên ( ) ( )

2 2 3 2 17 3 2 17 > ⇒ >

c) 35 15 1 36 16 1 6 4 1 11 + + < + + = + + = ,

123 121 11 > = suy ra 35 15 1 123 + + < .

d) Ta có 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 < = ⇒ + < ⇒ + < = .

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:

a) 8 2x + ;

b) 1 11 x x −+ − ;

c) 2 3 9 x x x + + − .

Giải

Tìm cách giải. Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:

• A có nghĩa khi 0 A ≥

• A M có nghĩa khi 0 M ≠

Trình bày lời giải

a) 8 2x + có nghĩa khi 8 2 0 4 x x + ≥ ⇔ ≥−.

b) 1 11 x x −+ − có nghĩa khi 1 0 x −≥ và 11 0 1 11 x x − ≥ ⇔≤ ≤ .

c) 2 3 9 x x x + + − có nghĩa khi 3 0 x + ≥ và 2 9 0 3; 3 x x x − ≠ ⇔ > − ≠ .

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:

a) 6 2 5 6 2 5 A = + − − ;

b) 2 1 2 1 B a a a = + − − + với 1 a <

Giải

Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng:

( )

2 2 1 1 a a a ± + = ± và lưu ý: A B A B A B B A A B

− ≥  − =  − < 

neáu

neáu

Trình bày lời giải

a) Ta có 6 2 5 6 2 5 A = + − −

5 2 5 1 5 2 5 1 A = + + − − +

( ) ( )

2 2 5 1 5 1 A = + − −

( ) ( ) 5 1 5 1 2 A = + − − = .

b) 2 1 2 1 B a a a = + − − + với 1 a <

( )

2 1 1 B a a = + − −

( ) 1 1 1 1 2 B a a a a a = + − − = + − − = .

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) 2 3 2 8 33 A x x = + − + ;

b) 2 8 18 1 B x x = − + −;

c) 2 2 2 2 2 2 10 2 8 2020 C x y xy x y y y = + − + − + + − + .

Giải

a) Ta có: ( )

2 2 3 2 8 33 3 2 2 25 3 25 8 A x x x = + − + = + − + ≥ + = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi 2 x = .

b) Ta có: ( )

2 2 8 18 1 4 2 1 2 1 B x x x = − + −= − + −≥ −

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2 1 − khi 4 x = .

c) Ta có: 2 2 2 2 2 2 10 2 8 2020 C x y xy x y y y = + − + − + + − +

( ) ( ) 2 2 1 9 2 2 2012 C x y y ⇒ = − + + + − +

9 2012 2015 C ⇒ ≥ + = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.

Khi 1 0 1

2 0 2

x y x

y y

− + = =   ⇔   − = =  

.

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: