Các dạng bài toán tính nhanh phân số

1

CÁC DẠNG BÀI TOÁN TÍNH NHANH PHÂN SỐ:

Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp

mẫu số của phân số liền trước 2 lần.

VD:  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1

Cách 1: Bước 1: đặt A =  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1

Bước 2: Ta thấy

2 1 = 1 - 2

1

4

1 = 2

1 - 4

1

8

1 = 4

1 - 8

1

Bước 3: Vậy A =      2

1 1 +       4

1 2 1 +       8

1 4 1 + … +       64

1 32

1

A = 1 -    4 1 2 1 2 1

8 1 4 1  + … + 64

1 32

1 

A = 1 - 64

1

A = 64 63 64

1 64 64  

Đáp số: 64

63

Cách 2:

Bước 1 đặt A =  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1

Bước 2: Ta thấy.

2 1 = 1 - 2

1

 2 1 4

1 = 4 1 1 4 3  

ThuVienDeThi.com

2

 2 1 4

1 + 8

1 = 8 1 1 8 7  

……………..

Bước 3: Vậy A =  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1

= 1 - 64

1 = 64 63 64

1 64 64  

Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân

số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần ( n>1).

Ví dụ: A =  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1

Cách giải: Bước 1: Tính A x n ( n = 2).

Ta có: A x 2 = 2 x            64

1 32

1 16

1 8 1 4 1 2 1

= 64

2 32

2 16

2 8 2 4 2 2 2     

= 1 +  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1

Bước 2: Tính A x n – A = A x ( n - 1)

A x 2 – A =            32

1 16

1 8 1 4 1 2 1 1 -            64

1 32

1 16

1 8 1 4 1 2 1

A x ( 2 - 1) – A = 1 +  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 -  2 1

4 1 - 8

1 - 16

1 - 32

1 - 64

1

A = 1 - 64

1

A = 64 63 64

1 64 64  

Ví dụ: B = 486

5 162

5 54

5 18

5 6 5 2 5     

Bước 1: Tính B x n ( n = 3)

ThuVienDeThi.com

3

B x 3 = 3 x            486

5 162

5 54

5 18

5 6 5 2 5

= 162

5 54

5 18

5 6 5 2 5 2 15     

Bước 2: Tính B x n – B

B x 3 – B =            162

5 54

5 18

5 6 5 2 5 2 15 -            486

5 162

5 54

5 18

5 6 5 2 5

B x (3 - 1) = B x 2 =  2 15

486

5 162

5 54

5 18

5 6 5 2 5 162

5 54

5 18

5 6 5 2 5          

B x 2 = 486

5 2 15 

B x 2 = 486 3640 486

5 3645  

B = 243 910 486 1820 2 : 486 3640  

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính nhanh

a - 192

2 96

2 48

2 24

2 12

2 6 2 3 2      

b -  2 1 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1 + 256

1 128

1 

c - 729

1 243

1 81

1 27

1 9 1 3 1     

d - 1+ 64

5 32

5 16

5 8 5 4 5    

d - 512

3 128

3 32

3 8 3 2 3    

c - 3+ 625

3 125

3 25

3 5 3   

f - 1280

1 .......... 40

1 20

1 10

1 5 1     

ThuVienDeThi.com

4

8 - 59049

1 . .......... 81

1 27

1 9 1 3 1     

Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích

của hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa

số thứ nhất của mẫu số liền sau:

Ví dụ 1: A = 6 5

1 5 4

1 4 3

1 3 2

1

x x x x   

A = 6 5

5 6 5 4

4 5 4 3

3 4 3 2

2 3

x x x x

      

= 6 5

5 6 5

6 5 4

4 5 4

5 4 3

3 4 3

4 3 2

2 3 2

3

x x x x x x x x       

= 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1       

= 3 1 6 2 6 1 6 3 6 1 2 1     

Ví dụ 2:

B = 14 11

3 11 8

3 8 5

3 5 2

3

x x x x   

B = 14 11

11 14 11 8

8 11 8 5

5 8 5 2

2 5

x x x x

      

B = 14 11

11 14 11

14 11 8

8 11 8

11 8 5

5 8 5

8 5 2

2 5 2

5

x x x x x x x x       

= 14

1 11

1 11

1 8 1 8 1 5 1 5 1 2 1       

= 7 3 14

6 4 1 514

7 14

1 2 1     

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính nhanh

a - 27 23

4 23 19

4 19 15

4 15 11

4 11 7

4 7 3

4

x x x x x x     

b - 10 9

2 9 8

2 ..... 4 3

2 3 2

2 2 1

2 15 13

2 13 11

2 11 9

2 9 7

2 7 5

2 5 3

2

x x x x x x x x x x x           

ThuVienDeThi.com