3 Bài toán vui về hình vuông

1

3 Bài toán vui về hình vuông

1/-Ghép Hình vuông

Bạn có hình vuông ABCD cạnh 5 cm (Hình 1). Trên và trong 4 cạnh hình vuông, bạn lấy 4 điểm E, F, G và H sao cho

AE = BF = CG = DH = 2 cm

Bạn cắt hình vuông ABCD theo 2 đường EG và FH để có 4 mảnh rời P, Q, R và S như trong Hình 2.

Sau đó, bạn ráp 4 mảnh rời trở lại theo một cách khác để có một hình vuông (Hình 3).

nhưng 4 mảnh rời đã cắt không bao phủ hết hình vuông, mà chừa một khoảng trống ở giữa. Khoảng trống nầy là một hình vuông nhỏ cạnh 1 cm!

Làm sao giải thích được sự kiện nầy, mời bạn tìm hiểu xem sao.

ThuVienDeThi.com

2

Giải thích:

Hai đường EG và FH thẳng góc tại O. Tại O, có 4 góc vuông: O1 trong P, O2 trong Q, O3 trong R và O4 trong S.

Cách ráp các mảnh rời P, Q, R và S như trong Hình 5 có nghĩa là:

Bạn đã đem 4 góc vuông O1, O2, O3 và O4 ở giữa (Hình 4) ra ngoài làm 4 góc ở 4 đỉnh của hình vuông O1O2O3O4 (Hình 5).

Bốn góc vuông A, B, C và D của hình vuông ABCD được đưa vào trong.

Cạnh của hình vuông O1O2O3O4

bằng O1O2 = O1E + EO2 = 2xO1E = 2xOE = EG = FH

Gọi K là hình chiếu của G trên cạnh AB. Tam giác vuông KEG cho:

EG2 = KE2 + KG2

Vì KE = 1cm, KG = 5cm, nên: EG2 = 1 + 25 = 26 cm2

Diện tích hình vuông O1O2O3O4 = EG2 = 26 cm2

Tổng số diện tích của 4 mảnh rời

P, Q, R, S = Diện tích hình vuông ABCD = 52 = 25 cm2

Khoảng trống trong hình vuông O1O2O3O4 = 26 cm2 – 25 cm2 = 1 cm2

(Theo Nguôn thuanhoa.com)

ThuVienDeThi.com

3

Bài 2

Hình mẫu dưới đây được tạo bằng cách vẽ các nửa hình tròn bên trong các hình vuông. Bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm. Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông ?

Giải

Diện tích hình vuông là: (4+4) x (4+4) = 64(cm2)

Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4 là:

4 x 4 x3,14 = 50,24(cm2)

Tổng diện tích của hình 1; 2; 3; 4 là:

64 - 50,24 = 13,76(cm2)

Tổng diện tích của hình 7 và 8 bằng diện tích nửa hình tròn có bán kính 2 cm (lấy hình 7 bù vào phần trắng dưới hình 8) và bằng:

(2 x 2 x 3,14) : 2 = 6,28(cm2)

Các cặp hình (5;6) (7;8) (9;10) (11;12) có tổng diện tích bằng nhau. Tổng diện tích 4 cặp đó là 6,28 x 4 = 25,12 (cm2)

Tổng diện tích phần tô màu là 13,76 + 25,12 = 38,88(cm2)

ThuVienDeThi.com

4

Bài 3

Tronng 2 hình dưới đây: Hình A và Hình B, màu nào có tổng diện tích các phần lớn hơn ?

Nhận xét: Nhìn bằng mắt ta cảm thấy phần màu đỏ ở hình A lớn hơn màu vàng. Nhưng sang hình B cấu trúc như A chỉ đổi màu mà sao màu đỏ lại lơn hơn màu vàng !

Tính chính xác ta vẽ lại sang hình C  Hình C

Giải:

Đặt 2a là độ dài cạnh hình vuông lớn ABCD, a là cạnh các hình vuông nhỏ GNOM v à NHLO

 Bán kính R1 = a; R1 cũng chính là đường chéo của hình vuông ONHL nên cạnh Hình vuông ONHL = cạnh hình vuông MGNO = 1/2 a2

Xét các phần trong tam giác vuông OAB

*∆OAB vuông cân  SOAB = a2

ThuVienDeThi.com

5

*Hình quạt cung GH tâm O, R1 =a

 Squạt OGH = ¼ π a2

*2 tam giác khuyết (xanh) GAE & HEB

S(GAE + HEB) = SOAB - Squạt OGH = a2 - ¼ π a2 = a2( 1 – π/4 )

* Diện tích hình vuông OMGN là: (1/2a2)2 = 1/2a2 = DT tam giác vuông OGN

* Diện tich hình quạt cung OG là: 1/4 π (1/2 a2)2 = 1/8 π a2

*DT 2 tam giác khuyết (xanh) OGN + ONH là:

S(OGN+OHN) = 2.(SOMGN - Squạt MGO) = 2.(1/2 a2 – 1/8 π a2) = a2(1- π/4)

Tổng diện tích các phần xanh trong tam giác vuông OAB là:

 Vậy diện tích phần xanh nhỏ hơn phần vàng (Vì DT tam giác vuông = a2)

*****

PHH sưu tầm và biên chỉnh phần bài giải – 12/2015

ThuVienDeThi.com