Chuyên đề Đại số Lớp 9 Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1:

a) Chứng minh 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2 với mọi a, b.

b) Chứng minh

2 2 2 2 a b ab b    > a, với a > b > 0. Bài giải:

a) Ta có 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2

 4(a4 + b4) > 2ab3 + 2a3b + 4a2b2

 ( b4 – 2ab3 + a2b2) + (a4 – 2a3b + a2b2) + (3a4 + 3b4 – 6a2b2)  0  (b2 – ab)2 + (a2 – ab)2 + 3(a2 – b2)2  0 (đúng) Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.

b) Với a > b > 0 thì

2 2 2 2 a b ab b    > a

 (a2 - b2) + (2ab – b2) + 2    2 2 2 2 a b ab b   > a2

 2b(a - b) + 2    2 2 2 2 a b ab b   > 0 (đúng)

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. Câu 2:

a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh: ( ) c a c  + ( ) c b c  ab 

b) Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:

2 ab

a b  ab 

Bài giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: ( ) ( )

1 1 1 2 2

c a c c b c c a c c b c ab ab b a a b

c a c c b c b a a b

                   

                   Điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra . bc a b c    b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

ThuVienDeThi.com

 

2 .

. . 2 . . .

a b a b

a b a b a b a b a b a b

 

    

Suy ra

2 ab

a b  ab 

Câu 3:

a) Cho x> 0, y > 0 và x + y  1. Chứng minh:

2 2 1 1 4. xy xy x y    

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 3

2 2 7 x x   

Bài giải:

a) Nhận xét rằng nếu a, b là số dương thì

1 1 4

. a b a b   

Từ đó ta có:    

 2 2 2 2 2 1 1 4 4 * xy xy xy xy x y y x y x         

Vì x, y > 0 và x + y  1 nên  

2 4 4. x y

 

Từ (*) suy ra:

2 2 1 1 4. xy xy x y    

b) Điều kiện:

2 2 7 0 1 2 2 1 2 2 x x x       

ThuVienDeThi.com

Ta có:  

2 2 2 7 8 8. 1 x x x       

Do đó: A=  

2

3 2 1 3 . 2 2 2 7 x x

    

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là   3 2 1

2



, đạt được khi x = 1.

Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

2 2 2 a b c ab bc ca      với mọi a, b, c.

b)

8 8 8

3 3 3

1 1 1 a b c a b c a b c      (a > 0, b > 0, c > 0)

c)   2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e   với mọi a, b, c, d, e. Bài giải:

a)

2 2 2 a b c ab bc ca     

   

     

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

0

2 2 2 2 2 2 0

2 2 2 0

0

a b c ab bc ca

a b ab b c bc a c ca

a b b c c a

      

      

         

      

Do đó

2 2 2 a b c ab bc ca      là bất đẳng thức đúng. b) Áp dụng câu a) ta có:

a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c 4 + c4a4 = (a2b2)2 + (b2c 2)2 + (c2a2)2   (a2b2) (b2c 2) + (b2c 2)(c2a2) + (c2a2)(a2b2) = a2b2c 2(a2 + b2 + c2)  a2b2c 2(ab +bc + ca) Do đó

8 8 8 2 2 2

3 3 3 3 3 3 ( ) a b c a b c ab bc ca a b c a b c      

8 8 8

3 3 3

1 1 1 a b c a b c a b c     

c) a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d +e)  a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d +e)  0

ThuVienDeThi.com

 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae  0

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 4 4 4 4

0 2 2 2 2

a a a a b ab c ac d ad e ae

a a a a b c d e

                           

                                 (Bất đẳng thức đúng) Do đó a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng. Câu 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức:

2 1 2 3 3 ... 3 3 3 3 4 n n      .

Bài giải:

Với m nguyên dương, ta có: 1 0,5 1,5 . 2.3 2.3 3 m m m m m m

    

Thay m lần lượt bởi 1; 2; ...; m. Ta có:

2 2

1

1 1, 5 2 , 5 3 2 2 .3 2 2 , 5 3 , 5 3 2 .3 2 .3 ...........

0 , 5 1, 5 3 2 .3 2 .3 n n n n n n



 

 

   

Do đó: 2 1 2 3 1, 5 1, 5 1, 5 3 ... 3 3 3 3 2 2.3 2 4 n n n n         

Câu 6: Tìm tất cả các số thực x thỏa:

      

3 4 4 4 2 4 2 4 6 3 30. x x x x x x x         

Bài giải:

ThuVienDeThi.com