Đề Olympic Toán 8 năm 2017 2018 phòng GD ĐT Kinh Môn Hải Dương

UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN- LỚP 8 Thời gian làm bài:150 phút ( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 1.

2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị biểu thức: 2 2 4

ab C a b  

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

1) 2 3 2 1 0 x x x      ;

2) 2 2 9 8 2 3 2 3 x x x x x x       .

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0.

2) Cho đa thức 3 2 f(x) = x -3x +3x -4. Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa

thức f(x) chia hết cho giá trị của đa thức 2 x + 2.

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. 1) Chứng minh AB2 = 4 AC.BD; 2) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM; 3) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH. Câu 5: (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 x y z   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 1 16 4 x y z  

------------------ Hết ------------------

UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN- LỚP 8 ( Hướng dẫn chấm gồm: 5 câu, 3 trang) Câu Đáp án Điểm

1 (2 điểm)

1. (1điểm) x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + 1 = x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + 1

0,25 = (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 1 0,25

= (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 1 0,25

= (x4 + x2 – 1)2 0,25 2. (1điểm) 4a2 + b2 = 5ab

(a – b)(4a – b) = 0

0

4 0 4

a b a b

a b a b

             

0,5

Do 2a > b > 0 nên 4a = b loại 0,25

Với a = b thì

2

2 2 2 2

1 4 4 3 ab a C a b a a     

0,25

2 (2 điểm)

1. (1điểm)

* Với x 1 (*) ta có phương trình: x2 -3x + 2 + x-1 = 0

0,25  

2 2 2 1 0 1 0 1 x x x x        ( Thoả mãn điều kiện *) 0,25

* Với x < 1 (**) ta có phương trình: x2 -3x + 2 + 1 - x = 0    2 4 3 0 1 3 0 x x x x        

0,25 + x - 1 = 0 1 x  ( Không thỏa mãn điều kiện **) + x - 3 = 0 3 x   ( Không thoả mãn điều kiện **) Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 1

0,25

2. (1điểm) - Xét x = 0 không phải là nghiệm - Xét x khác 0

2 2 9 8 2 3 2 3 9 1 8 3 3 2 1 2 1

x x x x x x

x x x x

     

    

0,25

Đặt :

3 2x t x   , ta có phương trình:

9 1 8 1 1 t t    

0,25 ĐKXĐ x khác 1;-1

 

2 2 1 8 8 2 0 2 2 1 0 2 PT t t t t         0,25

2

2

3 1 2 2 4 6 0

1 95 (2 ) 0 4 16

x x x x

x

  

   

   

=> PT vô nghiệm

0,25

3 (2 điểm)

1. (1điểm) Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0

 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = 0 (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9 (*)

0,25

Ta thấy (2x + 2y + 7)2  0 nên 4y2  9 2 9 4 y  do y nguyên nên

    2 0;1 0;1; 1 y y    

0,25

Với y = 0 thay vào (*) ta được:  

2 2 7 9 x   tìm được   2; 5 x  Với y = 1 thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = 5 - không tìm được x nguyên Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = 5 - không tìm được x nguyên

0,25

Vậy (x;y) nguyên tìm được là (-2 ; 0) ; (-5 ; 0). 0,25 2. (1điểm) Chia ( ) f x cho 2 2 x  được thương là x - 3 dư x + 2. 0,25 để ( ) f x chia hết cho 2 2 x  thì x + 2 chia hết cho 2 2 x  => (x + 2)(x - 2) chia hết cho x2 + 2 => x2 - 4 chia hết cho x2 + 2 => x2 + 2 - 6 chia hết cho x2 + 2 => 6 chia hết cho x2 + 2 => x2 + 2 là ước của 6

0,25 mà 2 2 2 x   =>   2 2 3;6 x 

=>   1; 2 x

0,25

Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn Vậy với x = 1 ; x = -2 thì ( ) f x chia hết cho 2 2 x 

0,25

4 (3 điểm)

Vẽ hình và ghi GT, KL

x

y

K

O A B

C

D

M

H

I

0,25