Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10, 11 THPT năm học 2015 - 2016 đề thi môn Toán 11

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình 2 3 sin 1 tan .tan tan 2 3 . 2 cos x x x x x          

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân m biệt lập thành một cấp số nhân: 3 2 7 ( 6) 0. x x m x m     

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tổng 2 2 2 2 3 2016

1 1 1 S A A A    

Câu 4 (1,0 điểm). Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh , mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự , , , , , , , , A B C D E F G H I các cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh và nhận được phần thưởng giống nhau. A B

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số được xác định bởi:  nx 2 1 1 2016, 1, 1,2,3,... n n n x x x x n      

a) Chứng minh rằng dãy tăng và  nx lim . nx 

b) Với mỗi số nguyên dương , đặt Tính n

1 2

1 1 1 2016 ... . n

n y x x x          

lim . ny

Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc . S ABCD ABCD SA với mặt phẳng . Biết và   ABCD , 3 AB a BC a   5. SD a 

a) Đường thẳng qua vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại . Gọi A AC , CB CD ,I J là hình chiếu vuông góc của trên . Hãy xác định các giao điểm của với H A SC , K L , SB SD và chứng minh rằng   HIJ  . AK SBC 

b) Tính diện tích tứ giác . AKHL

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại , là Oxy ABC A M

trung điểm của . Đường thẳng và là trọng tâm tam giác . AB : 3 0 CM y   7 3; 3 K       

ACM

Đường thẳng đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết điểm AB   1;4 D ABC M có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng ABC 2 4 0. x y   

Câu 8 (1,0 điểm). Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất , , x y z 1 xyz  của biểu thức

.       2 2 2 15 7 1 P xy yz zx x y z x y z         

------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh…………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. II. ĐÁP ÁN:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT

Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm)

ĐKXĐ: . Phương trình đã cho tương đương cos .cos 0 2 x x 

2 cos .cos sin .sin 2 2 sin tan 2 3 3 3 tan cos .cos 2

x x x x x x x x x

             

0,5

2 sin tan 2 3 3 3 tan cos

x x x x      0,25

hoặc 2 3 tan 2tan 3 0 tan 3 x x x       1 tan . 3 x  0,5

tan 3 . 3 x x k       0,25

1 tan . 6 3 x x k       0,25

Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là ; , . 3 6 x k x k k         A 0,25

2 (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương

2

2

1 ( 1)( 6 ) 0

6 0 (1)

x x x x m

x x m

          

0,25

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

khác 1, hay: (*). 2

' 9 0 9

5 1 6.1 0

m m

m m

               Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm và , trong đó là nghiệm của (1). 1 2 , x x 3 1 x  1 2 , x x

Theo định lý Viet ta có (2). 1 2

1 2

6

.

x x

x x m

     

0,25

Xét các trường hợp sau:

*) Nếu (3). Từ (2) và (3) ta có hệ: 2 2 1 3 2 1 2 . x x x x x   

2 2 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 3 1 2 2

6 0 6 2; 4; 8 . 3; 9; 27

x x x x x x m x x m x x x x m x x m x

                             

0,25

(Đáp án có 04 trang)

ThuVienDeThi.com