Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 THPT năm học 2012-2013 môn Toán

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1. a) Giải bất phương trình

2 6 2 2(2 ) 2 1. x x x x     

b) Giải hệ phương trình:

5 4 10 6

2 4 5 8 6

x xy y y

x y

          Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm m

2

2

( ) x m y x my

x y xy

        Câu 3.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm và các đường thẳng , Oxy (2;4) I . Viết phương trình đường tròn có tâm sao 1 : 2 2 0, d x y    2 : 2 2 0 d x y    ( ) C I

cho cắt tại và cắt tại thỏa mãn ( ) C 1d , A B 2 d , C D 2 2 16 5 . . AB CD AB CD    Câu4.

1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân

giác trong AL và . 3 5 2 5 2 CM

AL  

Tính và . b c cos A

2. Cho a,b thỏa mãn: A 9 (2 )(1 ) 2 a b   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 16 4 1 P a b     Câu 5.

Cho với a,b thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên 

2 f x x ax b    A , , m n p

đôi một phân biệt và sao cho: . 1 , , 9 m n p      7 f m f n f p   

Tìm tất cả các bộ số (a;b).

_____________ Hết _____________

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh: ………………

ThuVienDeThi.com

2

SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)

Câu1 Đáp án Điểm

Điều kiện: Đặt ( ) thì Khi đó ta có 1 . 2 x  2 1 t x   0 t  2 2 1. x t  

2 2 2 6 2 2(2 ) 0 2 4 3( 1) 2 0 x x x t x tx t t            

1.0

2 2 ( ) (2 1) 0 ( 3 1)( 1) 0 x t t x t x t           0.5

(do ). 1 x t   1 3 1 0; ; 0 2 x t x t     0.5 3 điểm

Với ta có 1 x t  2

1 1 2 1 2 2. 2 1 2 1

x x x x x x x

            Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là [2 2; ). S   

1.0

Điều kiện:

5 4 10 6

2

(1)

4 5 8 6 (2)

x xy y y

x y

         

5 4 x  0.5

Th1: không thỏa mãn 0 0 y x    0.5 Th2: ta có: 0 y 

với t=x/y

5

5 4 3 2 2 3 4 (1) ( )( ) 0 x x y y t y t t y t y ty y y y                   2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 t y t y t y t yt y             t=y hay  2y x 

0,5

Thay vào (2): 4 5 8 6 x x     2 2 4 37 40 23 5 x x x     

2

23

1 5 42 41 0

x x x x

          

1 y   1

3 điểm

Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là:   ( ; ) (1;1);( 1;1) x y   0.5

Câu2 Hệ đã cho tương đương với:

2

2

0 (1)

0 (2)

my y m

x yx y

        

0,5

Phương trình (2) (ẩn ) có nghiệm là x 2 0 4 0 4 x

y y y y

       

0,5

Th1: ta có Suy ra thỏa mãn. 0, m  0, y  0. x  0 m  0,5

ThuVienDeThi.com

3

Th2: Phương trình (1) (ẩn ) không có nghiệm thuộc khoảng (*) 0. m  y ( ; 4] [0; )    là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc điều kiện là ( 4;0), 

(B)

2

2

1

2

1 4 0

1 4 0 4 0

4 0

m

m y

y

           



2

2

2

2

1 4 0

1 4 0

1 1 4 4 0 2

1 1 4 4 0 2

m

m

m m

m m

                     



2

2

1 1 ( ; ) ( ; ) 2 2 1 0 2

1 4 1 8 ( )

1 4 1 8

m

m

m m A

m m

     

     

           (với là 2 nghiệm của phương trình (1)). 1 2 , y y

0.5

(A) (B)

2

1 1

1 4 2 8

2 17 1 4 1 8

m

m

m m

            

  4 1 ( ; ) ( ; ) 17 2 m   0,5

3 điểm

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn ) có ít nhất một y nghiệm thuộc khoảng hay (*) không xảy ra, điều kiện là ( ; 4] [0; )   

Vậy tất cả các giá trị cần tìm là 4 1 ; 0. 17 2 m m    m 4 1 . 17 2 m  

0,5

Gọi hình chiếu của trên lần lượt là khi đó I 1 2 , d d , . E F

1 2 ( ; ) ( ; ) 2 6 ; . 5 5 I d I d IE d IF d     0,5

Gọi là bán kính của đường tròn cần tìm ( ) R ( ) C 6

5 R 

2 2 4 36 2 2 ; 2 2 5 5 …