Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 6 cấp trường năm học 2015 - 2016 đề thi môn Toán 6

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2015-2016

Đề thi môn: Toán 6 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

________________________

Câu 1( 6 điểm)

1. Tính , biết : , B

A A =

1 2 +

1 3 +

1 4 + … +

1 200

B = 1 199 2 198 ... 197

3 198

2 199

1     

2. Chứng tỏ rằng: Nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y chia hết cho 31.

3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết: a + 2b = 48 và .   114 ) , ( , .3   b a b a

Câu 2 ( 4,0 điểm)

1. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 7x + 12y = 50.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số có thể rút gọn được. 7 21

3 18

  n n

Câu 3 (2,0 điểm): Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n lớn hơn 6 đều biểu diễn được dưới dạng tổng hai số nguyên tố cùng nhau lớn hơn 1. Câu 4 ( 6,0 điểm) : Người ta đã chứng minh được tính chất sau: Cho n tia chung gốc O là: Ox1, Ox2,…, Oxn tạo thành n góc phân biệt x1Ox2, x2Ox3, …xn-1Oxn, xnOx1. Khi đó : x1Ox2 + x2Ox3 +…+ xn-1Oxn + xnOx1 = 3600. Hãy áp dụng tính chất trên     để giải bài toán sau:

Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc không có điểm trong chung là: AOB, BOC và COA.

a, Chứng tỏ rằng trong ba góc đó ít nhất một góc lớn hơn hoặc bằng 1200 . b, Giả sử AOB = 1300, BOC = 1000. Gọi OM là tia đối của tia OA. Chứng   tỏ rằng tia OM là tia phân giác của góc BOC . Câu 5(2,0 điểm): Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho:

a + b + c = abc và a > b > c > 0 ------------------------ Hết -------------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ThuVienDeThi.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2015-2016

Hướng dẫn chấm môn: Toán 6 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu Nội dung Điểm

1. Ta có : B = 1 199 2 198 ... 197

3 198

2 199

1     

= + +….+ + 1       1 199

1 2 1 198       

      1 2 198

0,75

= 200 200 2 200 ... 198

200 199

200     0,5

= 200. = 200.A =>           2 1 ... 198

1 199

1 200

1

200

1 . 200   A A B

A 0,75

Câu 1

(6 đ)

2. Ta có 6x + 11y 31 (1) 

Xét hiệu : 6(x + 7y) - (6x + 11y) = 31y 31 (2) 

Từ (1) và (2) 6(x + 7y) 31. Mà (6 ; 31) = 1 x + 7y 31    

Vậy nếu 6x + 11y 31 thì x + 7y 31  

0,25

0,75

0, 75

0,25

3. Gọi (a, b) = d 

    

 1 ) , (, n m nd b

md a

Mà   ab b a b a  ) , .( ,   nd md d b a . . ,   mnd b a  , a + 2b = 48 md + 2nd =48 d(m + 2n) = 48 d Ư(48) (1)    

=> d(3mn + 1) = 114 => d Ư(114) (2)   114 ) , ( , .3   b a b a  Từ (1) và (2) => d ƯC(48; 114) ={ 1; 2; 3; 6} 

Nếu d = 1 => Loại : 113 3

48 2

114 1 3

48 2

  



     

 

 

mn

n m

mn

n m

Nếu d = 2 => Loại : 56 3

24 2

57 1 3

24 2

  



     

 

 

mn

n m

mn

n m

Nếu d = 3 => Loại : 37 3

16 2

38 1 3

16 2

  



     

 

 

mn

n m

mn

n m

Nếu d = 6 =>

  



     

 

 

18 3

8 2

19 1 3

8 2

mn

n m

mn

n m

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

Vì (m, n ) = 1 nên ta có:

m n a b 6 1 36 6 2 3 12 18 Vậy (a, b) = (36; 6), (12 ; 18). 0,5 1. Ta có 122 = 144 > 50 và y N => 0 y 1 => y ∈   ∈{0;1}

73 > 50 và x N => 0 x 2 ∈  

Với y = 1 => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => không tìm được x . ∈N Với y = 0 => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = 2

Vậy x = 2, y = 0

0,5

0, 25

0,5

0,5

0,25

Câu 2

(4 đ)

2. Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d =>

18 n + 3 d, 21n + 7 d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d   

=> 21 d => d Ư(21) = { 3 ; 7}  

Mà 21n + 7 Không chia hết cho 3 => d ≠ 3

Ta lại có 21n + 7 7 => 18n + 3 7 => 18n + 3 – 21 7   

=> 18(n - 1) 7 mà (18; 7) = 1 => n – 1 7 = > n = 7k + 1(k N)   

Vậy để phân số có thể rút gọn được thì n = 7k + 1(k N) 7 21

3 18

  n n 

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

Câu 3

(2 đ)

- Xét trường hợp n lẻ => n = 2k + 1 = k + ( k + 1), ( k ) ∈N Vì n > 6 => k + 1 > k > 1. Mà k và k +1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k và k + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau - Xét trường hợp n chẵn: + Với n = 4k =( 2k + 1) + (2k – 1) (k ) ∈N Vì n > 6 =>2 k + 1 > 2k - 1 > 1 Mà 2k - 1 và 2k +1 là hai …