Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 10 THPT năm học 2012 2013 môn thi Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm 2 3 2    y x x  y x m số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.

b) Giải bất phương trình:

2

1 1 0 2 4 4 3

      x x x

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có . Đường thẳng Oxy B(1;2)  là đường phân giác trong của góc A có phương trình ; Khoảng cách từ C 2x y 1 0   đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục   tung.

b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM 

và CN của tam giác. Chứng minh rằng 3 sin 5 

Câu 3 (2,5 điểm)

a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 BD BC; 3   

. Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. 1 AE AC 4   

b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho biểu thức ( 2 2 2 b IB c IC 2a IA 0       

) đạt giá trị lớn nhất. 2 2 2 2 2 2 b MB c MC 2a MA  

Câu 4 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình:     2 2 1 6 2 2 1 2 5 4     x x x x

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: x y z xyz   

.

2 2 2 1 1 1 1 1 1          y x z xyz x y z

…………………Hết………………….

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu Ý Nội dung Điểm

1 a

Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các 2 3 2    y x x  y x m hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm của đoạn thẳng AB cách đều các trục tọa độ.

1,25

Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm phân biệt 

hay (*)có m>1 2 3 2    x x x m 2 2 2 0     x x m ' 0   0,25

Gọi là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có ; A B x ;x A B I

x x x 1 2   

I I y x m m 1    

0,25 Yêu cầu bài toán I I y x  

m 1 1    m 2;m 0   

0,25 0,25

Kết hợp ĐK, kết luận 2  m 0,25

b Giải bất phương trình: (1) 2

1 1 0 2 4 4 3

      x x x 1,25

TXĐ:

2 4 3 0 1 2;2 3 2

         

x x x x x

0,25

(1)

2

1 1 2 4 4 3       x x x

Nếu thì , bất phương trình nghiệm đúng 1 2   x 2 4 3 0 2 4       x x x với mọi x: 1 2   x

0,25

Nếu

2 2 4 0 2 3

4 3 0

         

x x

x x

bất pt đã cho 2 2x 4 x 4x 3      

0,25

2 2 4 16 16 4 3       x x x x 2 5 20 19 0     x x 5 5 x 2 ;x 2 5 5     0,25

Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 5 2 x 3 5   

Tập nghiệm của bpt đã cho: 5 (1;2) (2 ;3) 5  

0,25

2 a

Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có . Đường thẳng là Oxy (1;2) B  đường phân giác trong của góc A có phương trình ; khoảng cách 2x y 1 0   từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C   nằm trên trục tung.

1,25

D(B; )= ; C(0:y0) ; D(C; )= , theo bài ra ta có  3

5

 0 y 1

5



0

0 0 y 1 9 y 10;y 8 5 5

    

0,25

ThuVienDeThi.com