Hướng dẫn ôn tập học kỳ 2 lớp 12 - Chương III Nguyên hàm tích phân

Trường THPT Nguyễn Trung Trực Hướng dẫn ôn tập học kỳ 2 lớp 12- Năm học 2016 - 2017

Trang 1

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: , x  K '( ) ( ) F x f x   Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: , C  R. ( ) ( ) f x dx F x C     Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất '( ) ( ) f x dx f x C      ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx       ( ) ( ) ( 0) kf x dx k f x dx k     3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 0dx C  

 dx x C   



1

, ( 1) 1 x x dx C      

   

 1 ln dx x C x   

 x x e dx e C   

 (0 1) ln

x x a a dx C a a     

 cos sin xdx x C   

 sin cos xdx x C   

 2 1 tan cos

dx x C x

  

 2 1 cot sin

dx x C x

  

 1 cos( ) sin( ) ( 0) ax b dx ax b C a a      



1 sin( ) cos( ) ( 0) ax b dx ax b C a a      

 1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a

     

 1 1 ln dx ax b C ax b a     

4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = thì ta đặt .   ( ) . '( ) g u x u x ( ) '( ) t u x dt u x dx   

Khi đó: = , trong đó dễ dàng tìm được. ( ) f x dx  ( ) g t dt  ( ) g t dt 

Chú ý: Sau khi tính theo t, ta phải thay lại t = u(x). ( ) g t dt   Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2 a x  sin , 2 2 x a t t     

hoặc cos , 0 x a t t  

2 2 a x  tan , 2 2 x a t t     

hoặc cot , 0 x a t t  

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Đặt 



'( )

( )

du u x dx u u x

v v x dx dv v x dx

             

. I u v vdu   

Thứ tự ưu tiên đặt u: hm logarit, hm đa thức, hm mũ, hm lượng gic. 2. Tích phân

a. Định nghĩa: Cho f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi đó

ThuVienDeThi.com

Trường THPT Nguyễn Trung Trực Hướng dẫn ôn tập học kỳ 2 lớp 12- Năm học 2016 - 2017

Trang 2

b

a

f(x)dx F(x) F(b) F(a) b

a = = - ò

b. Tính chất: (SGK) c. Phương pháp đổi biến số:

 Đổi biến số dạng 1: Tính tích phân

b

a I f(x)dx = ò

Đặt x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] sao cho u() = a, u()= b và a  u(t)  b. Khi đó

b

a I f(x)dx f[u(t)]u'(t)dt g(t)dt

b b

a a = = = ò ò ò

 Đổi biến số dạng 2: Tính tích phân

b

a I f(x)dx = ò

Đặt u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u(x)  . Khi đó

b

a I f(x)dx g[u(x)]u'(x)dx g(u)du

b

a

b

a = = = ò ò ò

d. Phương pháp từng phần: Nếu hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì

b b b

a a a u.dv u.v v.du = - ò ò

3. Ứng dụng của tích phân trong hình học:

a. Diện tích hình phẳng: Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là

b

a S f(x) g(x) dx = - ò

b. Thể tích khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quay quanh trục Ox là

[ ]

b

2

a V f(x) dx p = ò

B. Bài tập

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x + là: 1 x

A. B. C. D.

3 2 x 3x ln x C 3 2   

3 2

2 x 3x 1 C 3 2 x    3 2 x 3x ln x C   

3 2 x 3x ln x C 3 2   

ThuVienDeThi.com