Tuyển tập 50 đề ôn thi chọn học sinh giỏi môn Toán có lời giải

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8

Câu 1. (3 điểm)

a) Phân tích đa thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c a c a b − + − + − thành nhân tử

b) Cho a,b,clà ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: ( )

2 2 2 2 a b c a b c + + = + +

Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 a b c P a 2bc b 2ac c 2ab = + + + + +

c) Cho x y z 0. + + = Chứng minh rằng: ( ) ( ) 5 5 5 2 2 2 2 x y z 5xyz x y z + + = + +

Câu 2. (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để n 18 + và n 41 − là hai số chính phương

b) Cho a,b 0  thỏa mãn a b 1. + = Chứng minh

2 2 1 1 25 a b b a 2     + + +         

Câu 3. (1 điểm)

Cho hình bình hành ABCDcó góc ABCnhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các

tam giác đều BCEvà DCF.Tính số đo EAF Câu 4. (3 điểm)

Cho tam giác ABCnhọn có các đường cao AA',BB',CC'và H là trực tâm

a) Chứng minh 2 BC'.BA CB'.CA BC + =

b) Chứng minh rằng: HB.HC HA.HB HC.HA 1 AB.AC BC.AC BC.AB + + =

c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB,AC

lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN.

Câu 5. (1 điểm)

Cho hình vuông ABCDvà 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông

này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2 . 3 Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường

thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b a c c a b − + − + − = − − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2 2

2 2 2 2 a b c b a b b c c a b

a b b c c b a b

a b a b b c b c b c a b

a b b c a b b c a b b c a c

  = − − − + − + −   = − − + − −

= − + − − − + −

= − − + − −= − − −  

b) ( )

2 2 2 2 a b c a b c ab ac bc 0 + + = + +  + + =

( )( )

2 2 2

2 2 a a a a b a c a 2bc a ab ac bc = = − − + − − +

Tương tự: ( )( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 b b c c ; b a b c c a c b b 2ac c 2ac = = − − − − + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c P

a 2bc b 2ac c 2ab a b c a b a c a b b c a c b c

a b a c b c 1 a b a c b c

= + + + + +

= − + − − − − − −

− − − = = − − −

c) Vì ( )

3 3 x y z 0 x y z x y z + + =  + = − + = −

Hay ( ) 3 3 3 3 3 3 x y 3xy x y z 3xyz x y z + + + = −  = + +

Do đó: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 3 3 3 2 2 2

5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3xyz x y z x y z x y z

x y z x y z y z x z x y

+ + = + + + +

= + + + + + + + +

Mà ( ) ( ) 2 2 2 2 x y x y 2xy z 2xy Vi x y z + = + − = − + = −

Tương tự: 2 2 2 2 2 2 y z x 2yz;z x y 2zx + = − + = −

Vì vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 5 5 3 2 3 2 3 2 3xyz x y z x y z x x 2yz y y 2zx z z 2xy + + = + + + − + − + −

( ) ( ) 5 5 5 2 2 2 2 x y z 2xyz x y z = + + − + +

Suy ra : ( ) ( ) 5 5 5 2 2 2 2 x y z 5xyz x y z + + = + +

Câu 2.

a) Để n 18 + và n 41 − là hai số chính phương

2 n 18 p  + = và ( ) 2 n 41 q p,q − = 

( ) ( ) ( )( ) 2 2 p q n 18 n 41 59 p q p q 59  − = + − − =  − + =

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 1 p 30 p q 59 q 29 − =  =    + = =  

Từ 2 2 n 18 p 30 900 n 882 + = = =  =

Thay vào n 41, − ta được 2 2 882 41 841 29 q − = = =

Vậy với n 882 = thì n 18 + và n 41 − là hai số chính phương

b) Có: ( )

2 2 2 2 2 a b 0 a b 2ab 0 a b 2ab (*) −   + −   + 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b =

Áp dụng ( ) * có:

2 2 1 25 1 1 25 1 a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a         + +  + + +  +                