Đề HSG lớp 8 môn Toán vòng 2 năm 2022 2023 liên trường THCS huyện Diễn Châu Nghệ An

LIÊN TRƯỜNG THCS HUYỆN DIỄN CHÂU

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 8 VÒNG 2

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn Toán – Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. (4.0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để 18 n + và 41 n − là hai số chính phương. b) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng 3 2023 a a − chia hết cho 6.

Bài 2. (4.0 điểm) Cho biểu thức :

( ) 3 2 1 6 3 2 : 2 1 1 1 x A x x x x x +   = + − +   + + − +  

a) Tìm điều kiện xác định của , A rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài 3. (5.0 điểm)

a) Giải phương trình: 4 4 ( 3) ( 5) 16 x x + + + =

b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức

20 10 5 1 x x x + + + cho đa thức

2 1 x − c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B =

2 2 ( 8) 5 3 2 8 2036 xy xy x y x y − + + − − +

Bài 4. (6.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A ( ) AB AC < có AD là tia phân giác của  BAC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên ABvà , AC E là giao điểm của BN và , DM F là giao điểm của CM và . DN a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và / / . EF BC b) Gọi H là giao điểm của BN và . CM Chứng minh H là trực tâm AEF ∆ c) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm

của BK và AD là .I Chứng minh : 9 BI AO DM KI KO KM + + >

Bài 5. (1.0 điểm)

Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.

--------------------------Hết--------------------------

Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh...............................................................SBD:.............

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 8

VÒNG II NĂM HỌC 2022-2023 ( Hướng dẫn chấm này có 04 trang )

Câu Ý Nội dung Điểm

1 4.0 đ

a 2.0

a) Tìm số tự nhiên n để 18 n + và 41 n − là hai số chính phương. 2.0

Để 18 n + và 41 n − là hai số chính phương

2 18 n p ⇔ + = và ( ) 2 41 , n q p q − = ∈

0.25 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 18 41 59 59 p q n n p q p q ⇒ − = + − − = ⇔ − + = 0.5

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = =   ⇔   + = =  

0.5

Từ 2 2 18 30 900 882 n p n + = = = ⇒ =

0.5

Thay vào 41, n − ta được 2 2 882 41 841 29 q − = = = Vậy với 882 n = thì 18 n + và 41 n − là hai số chính phương

0.25

b 2.0

b) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng 3 2023 a a − chia hết cho 6.

2.0

Ta có 3 3 2023 ( ) 2022 a a a a a − = − − 0.5

( 1) ( 1) 2022 a a a a = − + − 0.5

Trong đó ( 1) ( 1) a a a − + là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 nên

( 1) ( 1) 6 a a a − + ;

0.5

2022 6 a.

Vậy 3 2023 6 a a − 

0.5

2

4,0

đ

a

2,5

2. Cho biểu thức :

( ) 3 2 1 6 3 2 : 2 1 1 1 x A x x x x x +   = + − +   + + − +  

a. Tìm điều kiện xác định của , A rút gọn A

2.5

a. ĐK: 1; 2 x x ≠− ≠− 0.5

2

3 1 6 3 2 2 1 . 1 2 x x x x A x x − + + + − − = + +

1.0

( )( ) ( )( )( )

2 2 2 1 1 1 1 2 1

x x x x x x x x

+ + = = − + + + − +

1.0

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. 1.5

2

1 ; 1 A x x = − + Vì

2 2 1 3 3 1 0; 1 0 2 4 4 x x x   > − + = − + ≥ >    

0.5

Ađạt GTLN 2 1 x x ⇔ − + đạt ( ) 2 3 1 1 4 2 GTNN x x x tm ⇔ − + = ⇔ = 0.5

Lúc đó 4 3 A = . Vậy GTLN của Alà 4 3 A = khi 1 2 x = 0.5

3

4,5

đ

a

2.0

a) Giải phương trình: 4 4 ( 3) ( 5) 16 x x + + + = 2.0

Đặt x + 4 = t Phương trình đã cho trở thành 4 4 ( 1) ( 1) 16 t t − + + =

0,5

4 3 2 4 3 2 4 6 4 1 4 6 4 1 16 t t t t t t t t ⇔ − + − + + + + + + = 0,5

4 2 2 2 6 7 0 ( 7)( 1) 0 t t t t ⇔ + − = ⇔ + − = 0,5

Vì 2 2 7 0 1 0 1 3; 5 t t t x x + > ⇒ −= ⇔= ± ⇒ = − = − 0,5

b 1,5

b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức 20 10 5 1 x x x + + + cho đa thức 2 1 x − 1.5

Vì đa thức chia bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax+b, gọi đa thức thương là Q(x), khi đó ta có:

20 10 5 2 1 ( 1) ( ) ax+b x x x x Q x + + + = − + (1)

0.5

Thay x =1 vào (1) ta được: 4 a b + = Thay x= -1 vào (1) ta được 2 a b −+ =

0.5

Từ đó suy ra 1; 3 a b = = Vậy đa thức dư là: x+3

0.5

b

1,5

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B = 2 2 ( 8) 5 3 2 8 2036 xy xy x y x y − + + − − …