Bài giảng số 3 ôn thi đại học Các phương pháp xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 1 Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400

Bài giảng số 3 ôn thi đại học

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Có 4 phương pháp xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

-Chỉ ra một điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện

-Dựng trục đường tròn đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

-Dựng hai trục đường tròn của hai mặt của khối đa diện

-Dùng phương pháp tọa độ tìm tâm và bán kính mặt cầu.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc

với mặt đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AB, ta có

( ) (1) ( ) ( )

SH AB SH ABCD SAB ABCD

       Gọi O là tâm đường tròn đáy và từ O dựng đường thẳng d vuông góc với

(ABCD) suy ra / / d SH

Vì SA = SB = a = AB nên tam giác SAB đều. Gọi G là trọng tâm của SAB

suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Từ G dựng được thẳng d’ vuông góc với (SAB) thì d’ và d cắt nhau tại I thì I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính R =SI

Ta có 3 2 3 2 3 3 a a SH GS SH    

2 a OH 

O

A

B C

D

S

H

G I

ThuVienDeThi.com

http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 2 Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400

Xét tam giác vuông SGI, theo định lý Pitago ta có

2 2 2 2 2 2 7 7 . 12 2 3

a a SI SG IG SG OH R       

Bình luận: Bài tập này sử dụng phương pháp tìm tâm mặt cầu bằng giao của hai trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD và tam giác SAB.

Ví dụ 2: (Khối B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC.

Lời giải

Vì tam giác ABC đều nên đường cao 3 2 a AH  .

Theo giả thiết thì

  ' ' 0 (( ), ( )) 60 A BC ABC A HA  

Trong tam giác vuông A’AH tại H, theo công thức tỉ số lượng giác ta có:

0 ' 3 tan 60 ' 3 2 AA a AA AH AH    

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

3 1 3 3 '. '. . . 2 8 ABC

a V AA S AA AH BC    

B'

A'

C'

A

C B

H

G

O M I

Từ G hạ ( ) GO AH O AH   , khi đó 1. ' ' 3 GO OH HG AA AH HA   Suy ra O là trọng tâm của tâm giác ABC và O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy GO là trục đường tròn của đáy ABC.

Trong mặt phẳng (GAH), kẻ trung trực của GA cắt GO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.ABC.

ThuVienDeThi.com

http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 3 Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400

Ta có ' . 3 2 AA a GO   Xét tam giác vuông GOA, theo Pitago, ta có

2 2 2 2 2 2 7 21 4 3 12 6 a a a a GA GO AO GA       

Dễ thấy GMI  đồng dạng với GOA  theo trường hợp (g-g)

Từ đó suy ra:

2

2 7 . 7 12 2 12

a GI GM GAGM GA a GI GA GO GO GO a       .

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.ABC là 7 . 12

a R 

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có hai tam giác tam giác ABC và DBC đều cạnh a. Góc giữa AD và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải

Gọi H là trung điểm của CB, dễ thấy

( ) CB DAH  . Hạ

' ' ( ). DH AH DH ABC   

Vậy   0 ( ,( )) ' 45 DA ABC DAH  

Mà

 0 90 DBC ABC HA HD DHA      

Vậy H’ trùng với H.

Tức ( ) DH ABC  .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì ABC đều

nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

Từ G dựng đường thẳng d vuông góc với ABC tại G suy ra d//DH

Trong mặt phẳng (DHA) dựng đường trung trực của cạnh bên DA cắt d tại I thì I là tâm

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Vì tam giác AHD vuông cân tại H nên suy ra

N

D

C

B

A

H H' G

K

I

ThuVienDeThi.com