Bài giảng 4 Hai mặt phẳng song song - Phần 4

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc

Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc

gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng!

BÀI GIẢNG 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

--phần 4--

Biên soạn: Đặng Thị Phượng

Bài toán 4: Thiết diện của lăng trụ, hình chóp cụt

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’, đáy là tam giác đều. Các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ là hình vuông. Gọi I và J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC  .

a) Chứng minh IJ//(ABC) b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng

(IJO). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

Giải:

a) Ta có ' ' 1 IJ / / ( ) IJ / /( ) IA JA BC ABC ABC IB JC    

b) Ta có

IJ (IJ );

IJ / / Ox / /IJ / / (IJ ) ( ) Ox

O BC ABC BC BC O ABC

         

Và Ox cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Nối EI cắt A’B’ tại H, nối FI cắt A’C’ tại G. Thiết diện của lăng trụ với (IJO) là EFGH.

Ta có:

( ) / /( ' ' ') (IJ ) ( ) EF EF / / (IJ ) ( ' ' ') Ox

ABC A B C O ABC GH O A B C

          

Tứ giác EFGH là hình thang.

Vì ABC  đều nên hình vuông ABB’A’= hình vuông ACC’A’ EH = FG Vậy thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (IJO) là hình thang cân.

Ví dụ 2: Cho hình hộp ' ' ' ' ABCDA B C D . Chứng minh rằng:

a) ( ') / /( ' ' ) BDA B D C b) Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm 1 2 ; G G của ' BDA  và ' ' B D C  c) 1 2 ; G G chia AC’ thành 3 phần bằng nhau d) Các trung điểm của 6 cạnh , ,DD', ' ', ' ', ' BC CD D A A B B B cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giải:

a) Xét mặt phẳng ( ' ) A BD và ( ' ' ) B D C có:

J I

B

A

C

B' C'

A'

E F

H G

O'

O

B

A

C

D

A' D'

B' C'

G1

G2

K

L

M

N

P

Q

I

ThuVienDeThi.com

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc

Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc

gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng!

' / / ' ' / /( ' ' )

( ' ) / /( ' ' ) ' / / ' ' / /( ' ' ) ' '

A B D C A B B D C

A BD B D C A D B C A D B D C A B A D

       

Gọi O, O’ là tâm của hai đáy.

Ta có ', ', ' AC OA O C cùng nằm trong mặt phẳng (ACC’A’) nên gọi 1 2 ' '; ' ' G A O AC G CO AC    

Ta có: 1 1

1 1

1 / / ' ' ' ' ' ' 2 G O AG AO OA A C G A G C A C    

1 1 1 ' 2 G O G A   . Mà A’O là trung tuyến của ' A BD  nên 1 G là trọng tâm của ' A BD 

Chứng minh tương tự: 2 G là trọng tâm của ' ' B D C 

Vậy đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm 1 2 ; G G của ' BDA  và ' ' B D C 

b) Vì I là tâm của hình hộp, AC’ là đường chéo của hình hộp nên ' I AC  . Ta có OCD’A’ là hình bình hành '/ / ' OA O C  hay 1 2 / / OG G C

Trong ACI  có O là trung điểm của AC mà 1 2 / / OG G C nên 1 G là trung điểm của 2 AG

1 1 2 AG GG  

Tương tự ta chứng minh 2 1 2 ' C G GG 

Vậy 1 2 ; G G chia AC’ thành 3 phần bằng nhau c) Vì KL, PN là đường trung bình của , ' ' ' BCD A B D   nên / / PN KL bốn điểm P,N,K,L đồng phẳng. Vì PQ, ML là đường trung bình của ' '; DD' A BB C   nên / / PQ ML

 Bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng. Vậy P, Q, M, L, N, K đồng phẳng

Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp cụt ABCA’B’C’ có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA VÀ M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, B’C’, C’A’. Chứng minh MNPM’N’P’ là hình chóp cụt.

Hướng dẫn: Để chứng minh MNPM’N’P’ là hình chóp cụt ta đi chứng minh

+ Các đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng quy

Gọi S là điểm đồng quy của AA’, BB’, CC’. Ta chứng minh các đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng quy tại S.

+ MN//M’N’; NP//N’P’; PM//P’M’

1 1 2 2 ' AG GG C G   

ThuVienDeThi.com