Bài giảng Véc tơ trong không gian (tham khảo)

Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN

Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 !

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM :

I. CÁC QUY TẮC VÉC TƠ

Quy tắc véc tơ đối : Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB BA AB BA 0 = − ⇔ + =

Quy tắc cộng véc tơ : Cho trước hai điểm A, B. Với mọi các điểm M1, M2...Mn ta luôn có hệ thức sau:

1 1 2 2 3 n AB AM M M M M ... M B = + + + +

Quy tắc trừ hai véc tơ : Cho trước hai điểm A, B. Với mọi điểm M ta luôn có AB MB MA = −

Quy tắc hình bình hành :

Cho hình bình hành ABCD, khi đó AB AD AC

AB DC

+ =

=

Quy tắc trung tuyến: Cho hai điểm A, B. Nếu M là trung điểm của AB thì ta có

hệ thức MA MB 0

AM BM 0

 + = 

+ = 

Quy tắc trung tuyến: Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm

của BC và AC. Khi đó AB AC 2AM

BA BC 2BN

+ =

+ =

Quy tắc trọng tâm: Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ.

Khi đó ta có

GA GB GC 0 2 AG AM 2GM 3

 + + =  = = 

Nhận xét: +) Với mọi điểm I thì ta luôn có IA IB IC 3IG + + =

+) Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi

GA GB GC GD 0 + + + =

CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !)

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm M, N thỏa mãn: a) = + + AM AB AC AD

b) = + − AN AB AC AD

Lời giải:

Tài liệu bài giảng (Chương trình PRO-S 2018)

01. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN (Tham khảo)

Thầy Đặng Việt Hùng – Facebook: LyHung95

ThuVienDeThi.com

Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN

Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 !

a) AM AB AC AD = + +

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó

AB AC 2AI + =

Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

2AI AJ AB AC AJ = → + =

Từ đó AB AC AD AJ AD 2AE + + = + =

, với E là trung điểm của DJ. Theo bài, AM AB AC AD 2AE = + + =

Vậy M là điểm đối xứng của A qua E. b) AN AB AC AD = + −

Theo a, ta có AB AC 2AI AJ + = =

Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

AN AB AC AD AJ AD DJ → = + − = − =

Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là điểm cần tìm.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN và G1 là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các hệ thức sau:

a) + = + AC BD AD BC

b) ( ) ( ) = + = + 1 1 MN AC BD AD BC 2 2

c) + + + = GA GB GC GD 0

d) 4 NA NB NC ND NG, N. + + + = ∀ + + + = ∀ + + + = ∀ + + + = ∀

e) + + = 1 AB AC AD 3AG

Lời giải: a) AC BD AD BC + = +

Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có

( ) AC AD DC AC BD AD BC DC CD BD BC CD

 = +  → + = + + +  = + 

Mà DC CD 0 AC BD AD BC. + = → + = +

b) ( ) ( ) 1 1 MN AC BD AD BC 2 2 = + = +

Chứng minh: ( ) 1 MN AC BD AC BD 2MN 2 = + ⇔ + =

Theo quy tắc cộng ta có AC AM MN NC

BD BM MN ND

= + +

= + +

( ) ( ) AC BD AM BM 2MN NC ND → + = + + + +

Theo quy tắc trung điểm ta lại có AM BM 0

NC ND 0

 + =  + = 

Từ đó ta được ( ) AC BD 2MN dpcm . + = →

Chứng minh: ( ) 1 MN AD BC 2 = +

ThuVienDeThi.com