Khảo sát năng khiếu học sinh - Lớp 8 đề thi môn Toán

THƯ VIỆN SEN VÀNG 1

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ............................................

KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH - LỚP 8

Đề thi môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,5 điểm).

Cho biểu thức

2

2 2 1 3 x 1 A : 3 x 3x 27 3x x 3                

a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A.

b) Tìm giá trị của x để giá trị của A < -1.

Câu 2 (2,5 điểm).

a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.

Câu 3 (1,0 điểm).

Cho các số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 =

3.

Tính giá trị của biểu thức: P = x25 + y4 + z2015.

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC

(M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C, kẻ CH BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng  

hàng.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (với k N*). Chứng  minh rằng: 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên.

---

ThuVienDeThi.com

THƯ VIỆN SEN VÀNG 2

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI

Câu Nội dung Điểm

1a.

ĐKXĐ: x ≠ -3;0;3

A =

2 2 3 9 3 9 3 : 3 ( 3) 3(3 )(3 ) x x x x x x x x x x         

0,5

1

1b

Với x ≠ {-3;0;3} ta có:

3 3 1 1 0 0 x A x x x      

Kết hợp với điều kiện ta có 0 < x ≠ 3 thì A < -1

0,5

0,5

2a. x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0  (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0   x = 2; x = - 1 

0,5

0,5

2b.

P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 

=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 3 1 ; 2 2 x y  

0,5

0,5

0,5

3.

Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx <=> 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz

+ zx)

<=> (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2

= 0

<=> x = y = z

Thay vào biểu thức: x2014 + y2014 + z2014 = 3 => x = y = z = 1 

Với x = y = z = 1 thi P = 3

Với x = y = z = -1 thì P = -1

0,25

0,25

0,25

0,25

H'

1

1

3

2 1

E

N

H

M O

D

C

B A

ThuVienDeThi.com

THƯ VIỆN SEN VÀNG 3

Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC Và : : 0 1 1 45 B C   BE = CM ( gt ) Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) 0,5 4a

OE = OM và  : : 1 3 O O  Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông : : 2 3 O O  : 0 90 BOC 

kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân : : 2 1 O O  : 0 90 EOM   tại O

0,5

Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD  0,25

+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  AM BM MN MC  0,25 Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)  0,25 4b

Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) AM AE MN EB   0,25 Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN ( cặp góc đồng vị) : : ' OME OH B   Mà vì ∆OEM vuông cân tại O : 0 45 OME  : : 0

1 ' 45 MH B C    ∆OMC ∆BMH’ (g.g)  : 0,25

,kết hợp ( hai góc đối đỉnh) ' OM MC BM MH   : : ' OMB CMH  0,25 ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c)  : : : 0 ' 45 OBM MH C    0,25

4c

Vậy : : : 0 ' ' ' 90 BH C BH M MH C    ' CH BN   Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng     hàng (điều phải chứng minh)

0,25

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). 1 4

1 4   ( 3) ( 1) k k   

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 1 4

1 4

0,5

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 0,25

5

Mặt khác k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1 = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2

Suy ra điều phải chứng minh.

0,25

ThuVienDeThi.com