Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6 có đáp án

ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 1 2 2

1 2

2 3

2 3

  

   a a a

a a A

a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và abc 1 2  n abc 2) 2 (  n cba Câu 3: (2 điểm)

a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm)

a. Cho a, b, n  N* Hãy so sánh và n b

n a

 

b a

b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1 10

1 10

12

11

 

1 10

1 10

11

10

 

Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta có: = 1 2 2

1 2

2 3

2 3

  

   a a a

a a A 1 1 )1 )( 1 (

)1 )( 1 (

2

2

2

2

 

     

  

a a

a a a a a

a a a

Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d  Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) abc

= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) cba Từ (1) và (2)  99(a-c) = 4 n – 5  4n – 5 99 (3) (0,25 điểm)  Mặt khác: 100  n2-1  999  101  n2  1000  11 n31  39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4)  4n – 5 = 99  n = 26 Vậy: = 675 ( 0 , 25 điểm) abc Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) 2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia   hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm

Ta xét 3 trường hợp (0,5 điểm). 1  b a 1  b a 1  b a

ThuVienDeThi.com

TH1:  a=b thì thì = =1. (0 , vì ,5 điểm). 1  b a

n b

n a

 

n b

n a

 

b a

TH1:  a>b  a+m > b+n. 1  b a

Mà có phần thừa so với 1 là n b

n a

 

n b

b a





có phần thừa so với 1 là , vì < nên < (0,25 điểm). b a

b

b a

n b

b a





b

b a

n b

n a

 

b a

TH3: <1  a<b  a+n < b+n. b a

Khi đó có phần bù tới 1 là , vì < nên > (0,25 điểm). n b

n a

 

b

b a

b

b a

n bb

a b

 

n b

n a

 

b a

b) Cho A = ; 1 10

1 10

12

11

 

rõ ràng A< 1 nên theo a, nếu <1 thì >  A< (0,5 điểm). b a

n b

n a

 

b a

10 10

10 10 11 )1 10 (

11 )1 10 (

12

11

12

11

    

 

Do đó A< = (0,5 điểm). 10 10

10 10

12

11

    

)1 10 ( 10

)1 10 ( 10

11

10

1 10

1 10

11

10

 

Vây A<B. Bài 5: Lập dãy số . Đặt B1 = a1.

B2 = a1 + a2 . B3 = a1 + a2 + a3 ................................... B10 = a1 + a2 + ... + a10 . Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm). Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư  { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)  ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  số giao điểm thực tế là:

(2005x 2006):2 = 1003x …