Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 6 năm học 2012 - 2013 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6

Năm học: 2012-2013

Môn: Toán Thời gian làm bài:120 phút

Đề thi này gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy tính cầm tay! Câu 1.(2.0 điểm) Thực hiện phép tính:

a) S = 2 2 2 3 5 61 ....... (1.2) (2.3) (30.31)   

b) B= .

12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 19 37 53 15 4 2013 1 . : . 3 3 3 5 5 5 41 237373735 3 5 19 37 53 15 4 2013

                      Câu 2. (2.0 điểm)

a) Cho ; . Tính 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2012 A      1 1 1 ... 1007 1008 2012 B    

2013 A B       b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương. Câu 3 (2.0 điểm)

a) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: 5 4 1 1 1    c b a

b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố.

Câu 4 (2.0 điểm)

Cho . Vẽ tia phân giác Oz của ; vẽ tia Ot sao cho . A 0 100 xOy  AxOy A 0 25 yOt 

a) Tính số đo các góc: A A , zOt xOt b) Ot có phải là tia phân giác của góc zOy không? Vì sao? Câu 5 (2.0 điểm)

a) Cho A = 20122012 + 22012 và B = 20122012. Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và số chữ số của B là bằng nhau. b) Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n

Tìm n sao cho S(n) = n2 – 2013n + 6.

----------------HẾT-----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:.....................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8 NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6

(HDC này gồm 04 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)

Phần Nội dung trình bày Điểm

a (1.0 điểm)

Ta có : với n N*  

2 2 2 2 1 1 1 ; ( 1) ( 1)

n

n n n n

     Do đó:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (1 ) ..... 2 2 3 30 31 S                   

.

2

2 2 2 1 31 1 30.32 1 31 31 31    

0.25

0.5

0.25

b (1.0 điểm)

Ta có:

B =

12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 19 37 53 15 4 2013 1 . : . 3 3 3 5 5 5 41 237373735 3 5 19 37 53 15 4 2013

                     

=

1 1 1 1 1 1 12. 1 4 1 47 41.3.1010101 19 37 53 15 4 2013 . : . 1 1 1 1 1 1 41 47.5.1010101 3 1 5 1 19 37 53 15 4 2013

                                               

= 5. 47

3. 41 ). 4 5 .4 .( 41 47 = 3

0.5

0.5

Câu 2: (2,0 điểm)

Phần Nội dung trình bày Điểm

a (1.0 điểm)

Ta có ; 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2012 A     

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2( ... ) 2 3 4 2012 2 4 6 2012         

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... (1 ... ) 2 3 4 2012 2 3 4 1006          

= B 1 1 1 ... 1007 1008 2012    

Suy ra:

2013

2013 1 1 1 A A B B         

Vậy

2013

1 A B       

0.25

0.25

0.25

0.25

b Xét : n = 1  1! = 12 n = 2  1! +2! = 3

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

(1.0 điểm)

n=3  1! + 2! + 3! = 9 =32 n = 4  1!+ 2! +3! + 4! =33 - Với n >4 thì n! = 1.2.3.........n là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0. Nên 1!+2!+......+n! = 33 cộng với một số có chữ số tận cùng bằng 0 Suy ra : 1!+2!+......+n! có chữ số tận cùng là 3, nên nó không phải là số chính phương. - Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! +.......+n! là số chính phương

0.25

0.5

0.25

Câu 3: (2,0 điểm)

Phần Nội dung trình bày Điểm

a (1.0 điểm)

Ta thấy: a, b, c là các số tự nhiên khác 0 Do a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử: 0 < a ≤ b ≤ c

Ta có: 1 1 1 3 a b c a   

3 4 5 a  

=> a ≤15

4

=> a  {1;2;3}

+ Với a = 1 thì . Không tồn tại b, c N thỏa mãn. 1 1 4 1 5 b c   

+ Với a = 2:

Ta có: 1 1 1 4 2 5 b c   

=> 1 1 3 10 b c  

Do b ≤ c nên 1 1 2 b c b  

2 3 10 b  

2 3 10 b  

=> b ≤ => b {1;2;3;4;5;6} 20

3

Kiểm tra các trường hợp ta thấy b = 5 thì c = 10; b=4 thì c=20 (thỏa mãn). Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn. + Với a = 3:

Ta có 1 1 4 1 7 5 3 15 b c    

0.25 0.25

0.25

ThuVienDeThi.com