Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán 6

Phßng GD&§T HUYỆN NGA SƠN

CỤM CHUYÊN MÔN THANH – THUỶ - BẠCH – TÂN

--------------------- (Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 24 tháng 11 năm 2016

Bài 1: (3điểm) Tính bằng cách hợp lý nhất: a. 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3 b. (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016) Bài 2: (3điểm) So sánh

a.

11 8 27 à 81 v

b. 6315 và 3418

Bài 3: (4điểm) a. Cho A = 21 + 22 + 23 + … + 230. Chứng minh rằng: A chia hết cho 21.

b. Tìm các chữ số a, b sao cho số 65 45 a b Bài 4: (3 điểm) Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6. Bài 5: (6 điểm) a. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Bài 6: (1điểm) Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.

-------------------Hết------------------

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm

1a (1,5đ)

2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3 =(2.12).31 + (4.6).42 + (8.3).27 = 24.31 + 24.42 + 24.27 = 24.(31 + 42 + 27) =24. 100 = 2400

0,5 0,25 0,25 0.25 0.25

1b (1,5đ)

(68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016) = (68.86.111 – 68.111.86).(1+2+3+ …+ 2016) = 0. (1+2+3+ …+ 2016) = 0

1 0.5

2a (1,5đ)

Ta có 2711 = (33)11 = 333

818 = (34)8 = 332

Vì 333>332 nên 2711 > 818

Vậy 2711 > 818

0.25 0.25 0.75 0.25

2b (1,5đ)

Ta có 6315 < 6415 =(26)15 = 290

3418 > 3218 = (25)18 =290

=> 6315 < 3418

Vậy 6315 < 3418

0.5 0.5 0.25 0.25

3a (2đ)

A = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: A = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra A 3 (1)  Ta có: A = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra A 7 (2)  Mà (3,7) = 1. Kết hợp (1) và (2) => A 3.7 hay A 21  

0,75

0,5

0,75

3b (2đ)

Ta có 45 = 5.9 và (5,9)=1

và  65 45 a b  65 5 a b 65 9 a b

Vì b= 0 hoặc b = 5 65 5 a b

* TH1: b = 0 a+11 9  650 9 a    Mà 1 a 9 12 a + 11 20 a + 11 = 18 a = 7       

* TH2: b = 5 a+16 9  655 9 a    Mà 1 a 9 17 a + 11 25 a + 16 = 18 a = 2        Vậy a=7 và b= 0; a= 2 và b = 5.

0,25 0,25 0,25

0,5

0,5 0,25

ThuVienDeThi.com

4 (3đ)

Gọi số học sinh khối 6 là a học sinh ( 3<a < 400) (a N) 

Ta có: a-3 10; a-3 12; a- 3 15 a-3 BC(10;12;15)     

Lại có: BCNN(10,12,15)= 60 => BC(10;12;15)= B(60) = {0;60;120;180;240;300;360;420;…} Vì 3< a <400 nên 0< a-3 < 397

=> a-3 {60;120;180;240;300;360} 

a-3 60 120 180 240 300 360

a 63 123 183 243 303 363

Vì a 11 => a=363  Vậy khối 6 có 363 học sinh.

0,25

0,5 0,25

0,5 0,5

0,5 0,25 0.25

5a (4đ)

Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. ● ● ● A B C Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau B nằm giữa A và C  AC = AB + BC = 12 cm.  Vậy AC = 12 cm. *TH 2 : C thuộc tia BA. ● ● ● A C B C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) AC + BC = AB  AC = AB - BC = 4 cm.  Vậy AC = 4 cm.

2

2

5b (2đ)

- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm. - Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm. Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm.

0.75

0.75 0.25 0.25

6 (1đ)

Ta có 10 n 99 nên 21 2n+1 199.     Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được:

2n + 1 25 49 81 121 169

n 12 24 40 60 84

3n +1 37 73 121 181 253

Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40.

0.25

0.5

0.25

ThuVienDeThi.com