Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Tuyển tập đề thi HSG Toán 6

Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 2

ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 1 2 2

1 2

2 3

2 3

+ + +

− + = a a a

a a A

a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho 1 2 − = n abc và 2) 2 ( − = n cba Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm)

a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh n b

n a

+ + và b

a

b. Cho A = 1 10

1 10

12

11

− −; B = 1 10

1 10

11

10

+ + . So sánh A và B.

Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta có: 1 2 2

1 2

2 3

2 3

+ + +

− + = a a a

a a A = 1 1 )1 )( 1 ( )1 )( 1 (

2

2

2

2

+ + − + = + + + − + + a a a a a a a a a a

Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) ⇒ 99(a-c) = 4 n – 5 ⇒ 4n – 5 ⋮ 99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 ⇔ 101 [ n2 [ 1000 ⇔ 11 [n[31 ⇔ 39 [4n – 5 [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) ⇒ 4n – 5 = 99 ⇒ n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006⇔ (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)⋮2 và (a+n) ⋮2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 6

Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 3

Ta xét 3 trường hợp 1 = b a 1 > b a 1 < b a (0,5 điểm).

TH1: 1 = b a ⇔ a=b thì n b n a + + thì n b n a + + = b a =1. (0 , vì ,5 điểm).

TH1: 1 > b a ⇔ a>b ⇔ a+m > b+n.

Mà n b n a + + có phần thừa so với 1 là n b b a + −

b a có phần thừa so với 1 là b b a− , vì n b b a + − < b b a− nên n b n a + + < b a (0,25 điểm).

TH3: b a <1 ⇔ a<b ⇔ a+n < b+n.

Khi đó n b n a + + có phần bù tới 1 là b b a− , vì b b a− < n bb a b + − nên n b n a + + > b a (0,25 điểm).

b) Cho A = 1 10

1 10

12

11

− −;

rõ ràng A< 1 nên theo a, nếu b a <1 thì n b n a + + > b a ⇒ A< 10 10 10 10 11 )1 10 ( 11 )1 10 (

12

11

12

11

+ + = + − + − (0,5 điểm).

Do đó A< 10 10

10 10

12

11

+ + = = + + )1 10 ( 10 )1 10 ( 10

11

10

1 10

1 10

11

10

+ + (0,5 điểm).

Vây A<B. Bài 5: Lập dãy số . Đặt B1 = a1. B2 = a1 + a2 . B3 = a1 + a2 + a3 ................................... B10 = a1 + a2 + ... + a10 . Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm). Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ∈ { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ⇒ ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng ⇒ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được …