Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 môn Toán lớp 6

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn toán lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2điểm) a). Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)

b). Tính tổng: A = 100 . 97

2 .... 10 .7

2 7.4 2 4.1 2    

Câu 2 (2điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + … + 580 . Chứng tỏ rằng: a). M chia hết cho 6. b). M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2 điểm)

a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.   2 5 , 3 n n N n

  

b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên. 2 5 3 n n

 

Câu 4 (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho

A A A 30 ; 70 ; 110 xOy xOz xOt      

a). Tính và AyOz AzOt b). Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao? c). Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 (1điểm) Chứng minh rằng : + + +...+ < 1 2 2

1

2 3

1

2 4

1

2 100

1

--------------- HẾT -----------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm) a). 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99) = 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 = 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 = 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94) = 16 +27.100 - 7. 100 = 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016

b). A = 100 . 97

2 .... 10 .7

2 7.4 2 4.1 2    

Ta có ) 4 1 1 1 ( 3 2 4.1 2 ) 4 1 1 1 ( 3 1 4.1 1     

Tương tự: ; ......; 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ); ( ) 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10     ) 100

1 99

1 ( 3 2 100 . 97

2  

 A = = ) 100

1 99

1 ..... 10

1 7 1 7 1 4 1 4 1 1 1 ( 3 2         50 33 100

99 . 3 2 ) 100

1 1 1 ( 3 2   

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm) a). Ta có: M = 5 + 52 + 53 + … + 580 = 5 + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +... + (579 + 580) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + ... + 578(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + ... + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + ... + 578) 30 

b). Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố 5. Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)  M = 5 + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)  M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52

 M không phải là số chính phương. (Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.   2 5 , 3 n n N n

   Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d  N  n + 3 d và 2n + 5 d    (n + 3) - (2n + 5) d  2(n + 3) - (2n + 5) d  1 d  d = 1  N     ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1

 ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1  là phân số tối giản.   2 5 , 3 n n N n

  

b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên. 2 5 3 n n

 

Ta có: = = 2 - 2 5 3 n n

 

2( 3) 1

3 n

n

  

1

3 n 

Để B có giá trị nguyên thì nguyên. 1

3 n 

ThuVienDeThi.com

Mà nguyên 1 (n +3) hay n +3 là ước của 1. 1

3 n   M

Do Ư(1) = 1; Ta tìm được n = {-4 ; - 2} Câu 4 Giải: Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.  x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6 Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n . Do đó x = 60.n – 2 ; (n = 1; 2; 3…..) Mặt khác x 11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418 11 M M Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm) a). (300 < 700) A A xOy xOz   Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz  = 700 - 300 = 400 AyOz

(700 < 1100) A A xOz xOt   Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot  = 1100 - 700 = 400 AzOt b). (300 < 1100) A A xOy xOt   Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot  = 1100 - 300 = 800 AyOt Theo trên, = 400 AyOz  < (400 < 800) AyOz AyOt  Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot c). Theo trên: Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

= 400; = 400 AyOz AzOt  Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 Chứng minh rằng : + + +...+ < 1 2 2

1

2 3

1

2 4

1

2 100

1

Ta có < = - 2 …