Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

MATH.ND

0976071956

⋆Lớp TOÁN THẦY DŨNG ⋆

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠQUANG BỬU

CHƯƠNG1 Phép nhân và phép chia đa thức

Chủđề7. Phân tích đa thức thành nhân tửbằng cách

phối hợp nhiều phương pháp

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Khi phân tích đa thức thành nhân tử, nếu cần ta phải phối hợp nhiều phương pháp đểphân tích

được triệt để. Các phương pháp thông thường:

○Phương pháp ưu tiên sốmột là đặt nhân tửchung;

○Phương pháp ưu tiên sốhai là dùng hằng đẳng thức;

○Cuối cùng là nhóm các hạng tử. Mục đích của việc nhóm các hạng tửnhằm làm cho quá trình

phân tích đa thức thành nhân tửđược tiếp tục bằng cách đặt nhân tửchung hoặc dùng hằng

đẳng thức.

Ngoài ra, ta còn có thểsửdụng các phương pháp nâng cao sau:

○Phương pháp tách một hạng tửthành nhiều hạng tử;

○Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử;

○Phương pháp đổi biến.

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1. Phối hợp các phương pháp thông thường

○Một sốbài toán, nếu chỉáp dụng một phương pháp thì ta không thểphân tích thành

nhân tửđược vì vậy ta phải kết hợp hai hoặc cảba phương pháp đã nêu.

○Khi phối phợp nhiều phương pháp, thông thường phương pháp đặt nhân tửchung được

ưu tiên đầu tiên rồi đến nhóm hạng tửvà hằng đẳng thức, một phương pháp có thểdùng

nhiều lần.

# Ví dụ1. Phân tích đa thức thành nhân tử

16x3 −54y3; a 5x2 −5y2; b 2x4 −32. c

L Lời giải

1

MATH.ND

0976071956

⋆Lớp TOÁN THẦY DŨNG ⋆

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠQUANG BỬU

# | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠQUANG BỬU

a 16x3 −54y3 = 2 (8x3 −27y3) = 2(2x −3y) (4x2 + 6xy + 9y2).

b 5x2 −5y2 = 5(x2 −y2) = 5(x −y)(x + y).

c 2x4 −32 = 2 (x4 −16) = 2 (x2 −4) (x2 + 4) = 2(x −2)(x + 2) (x2 + 4).

□

# Ví dụ2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3x3 −75x; a 5x2y −30xy2 + 45y3. b

L Lời giải

a 3x3 −75x = 3x (x2 −25) = 3x(x −5)(x + 5).

b 5x2y −30xy2 + 45y3 = 5y (x2 −6xy + 9y2) = 5y(x −3y)2.

□

# Ví dụ3. Phân tích đa thức A = a6 −a4 + 2a3 + 2a2 thành nhân tử.

L Lời giải

Ta có

A = a6 −a4 + 2a3 + 2a2 = a2 a4 −a2 + 2a + 2 = a2 a2 a2 −1 + 2(a + 1)

= a2 a2(a −1)(a + 1) + 2(a + 1) = a2(a −1)(a + 1) a2 + 2 .

□

# Ví dụ4. Phân tích đa thức B = 2x3y −2xy3 −4xy2 −4x2y thành nhân tử.

L Lời giải

Ta có

B = 2x3y −2xy3 −4xy2 −2xy = 2xy x2 −y2 −2y −2x

= 2xy [(x −y)(x + y) −2(x + y)] = 2xy(x + y)(x −y −2).

□

# Ví dụ5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = (5x −10) x2 −1 −(3x −6) x2 −2x + 1 .

L Lời giải

M = (5x −10) x2 −1 −(3x −6) x2 −2x + 1

Page 2 of 24 ⋆Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ⋆

MATH.ND

0976071956

⋆Lớp TOÁN THẦY DŨNG ⋆

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠQUANG BỬU

# | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠQUANG BỬU

= 5(x −2)(x −1)(x + 1) −3(x −2)(x −1)2

= (x −2)(x −1) [5(x + 1) −3(x −1)]

= (x −2)(x −1)(2x + 8)

= 2(x −2)(x −1)(x + 4).

□

# Ví dụ6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x4 −4x3 −8x2 + 8x.

L Lời giải

P = x4 −4x3 −8x2 + 8x = x x3 + 8 −4x(x + 2)

= x (x + 2) x2 −2x + 4 −4x(x + 2) = x(x + 2) x2 −6x + 4 .

□

# Ví dụ7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = (x −1)(x −2)(x −3) + (x −1)(x −2) −(x −1).

L Lời giải

M = (x −1)(x −2)(x −3) + (x −1)(x −2) −(x −1) = (x −1) [(x −2)(x −3) + (x −2) −1]

= (x −1) [(x −2)(x −3 + 1) −1] = (x −1) (x −2)2 −1 = (x −1)(x −2 + 1)(x −2 −1)

= (x −1)2(x −3).

□

{ DẠNG 2. Phương pháp tách một hạng tửthành nhiều hạng tử

○Tách các hạng tửcủa đa thức thành tổng hoặc hiệu của nhiều hạng tử, từđó ta ghép

cặp đểđược các nhóm hạng tửgiống nhau và làm xuất hiện nhân tửchung.

○Cách tổng quát đểphân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tửlà

• Tách bx thành b1x + b2x sao cho b1 · b2 = ac.

• Đặt nhân tửchung theo từng nhóm.

○Đối với đa thức bậc ba trởlên thì tùy theo đặc điểm của các hệsốmà có cách tách riêng

cho phù hợp. Một thủthuật của loại này là dùng máy tính cầm tay nhẩm một nghiệm

(thường là nghiệm nguyên, giảsửlà x0), khi đó ta tìm cách ghép cặp làm sao cho xuất

hiện nhân tử(x −x0) là được.

Page 3 of 24 ⋆Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ⋆