Chuyên đề định lí Ta-lét trong tam giác

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Hình 259

E D

B C

A

ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng đơn vị đo (tỉ số này

không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo).

2. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B   và C D  nếu có tỉ lệ thức

AB A B CD C D

    hay AB CD A B C D    .

3. Định lí Ta-lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và

cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn

thẳng tương tứng tỉ lệ.

, , ABC AD AE DB EC AD AE DE BC AB AC BA CA DB EC

        .

4. Nhớ lại tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

a) Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c b d  .

b) Tính chất

Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Nếu a c b d  thì ad bc  .

Tính chất 2: Nếu ad bc  và 0 abcd  thì ta có bốn tỉ lệ thức sau:

; ; ; a c a b d c d b b d c d b a c a     .

c) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Từ dãy tỉ số bằng nhau a c e b d f   , suy ra a c e a c e a c e b d f b d f b d f             .

5. Từ định lí Ta-lét ta thu được kinh nghiệm thứ năm

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

A C B

8

3 5

Hình 260

Cứ nói đến tỉ số của hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lí Ta-lét, ta cứ nói đến định lí Ta-lét phải

nghĩ đến đường thẳng song song.

Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán đề cập đến tỉ số của hai đoạn thẳng mà

phải vẽ thêm đường phụ, ta vẽ thêm đường thẳng song song để sử dụng định lí Ta-lét.

II.BÀI TẬP MINH HỌA

A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

DẠNG 1. Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.

2. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB ), được gọi là chia đoạn

thẳng AB theo tỉ số 1 m

n

 ( , m n là các số dương), nếu ta có: CA m CB n  .

3. Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học:

Nếu ta có: CA m CB n  thì CA mt CB nt

    

(với 0 t  )

4. Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Điểm C thuộc đoạn thẳng AB và chia AB theo tỉ số 3

5 . Hãy tính các tỉ số:

; AB AB AC CB .

Lời giải (hình 260)

Vì C chia đoạn AB theo tỉ số 3

5 nên:

3 3

5 5

CA t CA

CB t CB

      

với 0 t  .

Do đó 8 AB AC CB t    . Vậy 8 8 8 8 , 3 3 5 5 AB t AB t AC t CB t     .

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

A C B Hình 261

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng 10 AB cm  .

a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho 3 2 CA CB

 . Tính độ dài CB .

b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho 3 2 DA DB

 . Tính độ dài CD .

Lời giải (hình 261)

a) Cách 1: Từ giả thiết:

3 3

2 2

CA t CA

CB t CB

      

với 0 t  ;

Nên 10 5 2 AB cm CA CB t t cm       . Vậy 4 CB cm  .

Cách 2: Từ giả thiết 3 10 2 2 3 2 3 2 5 5 CA CA CB CA CB AB CB

         .

Vậy 4( ) CB cm  .

Cách 3: Đặt CB x  thì 10 CA x   .

Từ giả thiết và tính chất cơ bản của tỉ lệ thức ta có 3 2 CB CA  hay

3 2(10 ) 5 20 4( ) x x x x cm       .

b) Từ giả thiết 3 3

2 2

DA t DA

DB t DB

      

.

Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA DB  .

Do đó 10 3 2 10 AB cm DA DB t t t cm        , suy ra 20 DB cm  .

Vậy 20 4 24( ) CD cm    .

Ví dụ 3. Đoạn thẳng 44 AB dm  được chia thành các đoạn thẳng liên tiếp , , AM MN NP và

PB lần lượt tỉ lệ với 10,2, 3 và 5 .

a) Tính độ dài mỗi đoạn thẳng đó.

b) Chứng minh rằng hai điểm M và P chia đoạn AN theo cùng một tỉ số k và tính k .

c) Còn hai điểm nào chia đoạn thẳng nào theo cùng một tỉ số nữa không?