Chuyên đề các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

- Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

- Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

kia.

2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh

góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

- Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

- Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng

Phương pháp giải: Có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường vào tam giác vuông

Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.

1. Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) BEH CDH;   ∽ b) EHD BHC.   ∽

2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Qua điểm M bất kì trên BC, vẽ đường thẳng

vuông góc với BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Chứng minh:

a) ABC MDC;   ∽ b) EAD EMB.   ∽

3. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, AB 6cm,CD 12cm   và AD 17cm.  Trên cạnh

AD, lấy E sao cho AE 8cm  . Chứng minh  0 BEC 90 . 

4. Cho tam giác ABC vuông tại A với AC 4cm  và BC 6cm.  Kẻ tia Cx vuông góc với BC

(tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho

BD 9cm.  Chứng minh BD song song với AC.

Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để

chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp

cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh.

5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

a) Chứng minh 2 AB BH.BC;  b) Chứng minh 2 AH BH.CH; 

c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh BAP ACQ;   ∽

d) Chứng minh AP CQ. 

6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông

góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh:

a) 2 AH AM.AB;  b) AM.AB AN.AC. 

c) AMN ACB.   ∽

7. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE AB  tại E, CF AD  tại F, BH AC  tại

H và DK AC  tại K. Chứng minh;

a) AB AH ; AC AE  b) AD.AF AK.AC; 

c) 2 AD.AF AB.AE AC .  

8. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh

2 BC BH.BD CH.CE.   Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình

phương tỉ số đồng dạng.

9. Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm

của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE.

10. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt

AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam

giác EBD và FDC lần lượt bằng 2 a và 2 b , hãy tính diện tích tam giác ABC.

HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI

1A.a)

b) Có ta suy ra

Từ đó chứng minh được

1B. HS tự chứng minh

2A. Ta chứng minh được

Từ đó ta có suy ra (ĐPCM)

2B. Ta chứng minh được

Từ đó suy ra BD//AC (ĐPCM)

( ) BEH CDH g g    

BEH CDH    HE HB HD HC 

( . . ) EHD BHC c g c   

  ( . . ) ABE DEC c g c AEB ECD     

  0 90 DEC AEB    0 90 BEC 

  ABC CBD ACB CBD     