Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương trình bậc nhất một ẩn

Chương III

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

BÀI 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. * Một phương trình ẩn x luôn có dạng ( ) ( ), A x B y = trong đó vế trái ( ) A x và vế phải là ( ) B x là hai biểu thức của cùng một biến x . * Gía trị 0x của ẩn x để 0 0 ( ) ( ) A x B x = được gọi là nghiệm. 2. * Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó. * Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình. * Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương. 3. Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn được một phương trình mới tương đương với phương trình đó.

4. Nghiệm duy nhất của phương trình 0(a 0) a x b + = ≠ là . b x a − =

B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. XÉT XEM x a = CÓ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG Phương pháp giải

* Nghiệm của phương trình ( ) ( ) A x B x = là giá trị của x mà khi thay vào phương trình, giá trị tương ứng của hai vế bằng nhau. * Muốn xem số a có phải là nghiệm của phương trình hay không, ta thay x a = vào hai vế của phương trình, tức là tính (a) A và (a). B Nếu hai vế của phương trình bằng nhau, tức là ( ) ( ) A a B a = thì x a = là nghiệm của phương trình. Còn nếu (a) (a) A B ≠ thì x a = không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1. (Bài 1, SGK trang 6)

Với mỗi phương trình, hãy xét xem 1 x = − có là nghiệm của nó không :

a) 4 1 3 2 x x −= − ; b) 1 2(x 3) x + = − ;

c) 2( 1) 3 2 x x + + = − .

Giải a) Với 1 x = − : Vế trái có giá trị : 4.( 1) 1 5 − −= −

Vế phải có giá trị : 3.( 1) 2 5 − − = .

Vậy 1 x = − là nghiệm của phương trình 4 1 3 2 x x −= −.

b) Với 1 x = − : Vế trái có giá trị : ( 1) 1 0 − + =

Vế phải có giá trị : 2.( 1 3) 2.( 4) 8 −− = − = −.

Vậy 1 x = − không là nghiệm của phương trình 1 2(x 3) x + = − .

c) Với 1 x = − : Vế trái có giá trị : 2.( 1 1) 3 3 −+ + =

Vế phải có giá trị : 2 ( 1) 3 −− = .

Vậy 1 x = − là nghiệm của phương trình 2( 1) 3 2 x x + + = − .

Ví dụ 2. (Bài 2 trang 6 SGK)

Trong các giá trị 1; 0; 1 t t t = − = = giá trị nào là nghiệm của phương trình

2 (t 2) 3 4? t + = +

Giải - Thay 1 t = − vào phương trình được :

2 2 ( 1 2) 3( 1) 4 1 1 −+ = − + ⇔ = : đúng.

Vậy 1 t = − là nghiệm của phương trình.

- Thay 0 t = vào phương trình được :

2 2 (0 2) 3.0 4 2 4 + = + ⇔ = : đúng.

Vậy 0 t = là nghiệm của phương trình.

- Thay 1 t = vào phương trình được :

2 2 (1 2) 3.1 4 3 7 + = + ⇔ = : sai.

Vậy 1 t = không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3. (Bài 3 trang 6 SGK)

Xét phương trình 1 1 x x + = + . Ta thấy mọi số thực đều là nghiệm của nó. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình ?

Giải Phương trình 1 1 x x + = + nghiệm đúng với mọi (x ) x ∈ nên tập nghiệm của phương

trình là S = .

Ví dụ 4. (Bài 4, trang 7 SGK)

Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (theo mẫu) :

3( 1) 2 1 x x − = − (a)

1 1 1 4 x x = − + (b)

2 2 3 0 x x − − = (c)

Giải 1 x = − là nghiệm của phương trình (c).

2 x = là nghiệm của phương trình (a).

4 x = là nghiệm của phương trình (b).

Dạng 2. XÉT HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU KHÔNG

Phương pháp giải

* Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình này đều là nghiệm của phương trình kia và nghược lại. Nói cách khác, hai phương trình tương đương là hai phương trình có các tập nghiệm bằng nhau. Đặc biệt : Hai phương trình cùng vô nghiệm được xem là hai phương trình tương đương (vì các tập nghiệm của chúng bằng nhau và bằng ∅). * Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này mà không là nghiệm của phương trình kia hoặc một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm thì kết luận được hai phương trình không tương đương. * Để chứng tỏ hai phương trình (1) và (2) tương đương, ngoài phương pháp chứng tỏ hai phương trình (1) và (2) có các tập nghiệm 1 2 ; S S bằng nhau, ta có thể dùng phương pháp khác là dùng phép biến đổi tương đương để biến (1) thành (2) ; hoặc biến đổi (2) thành (1). Ví dụ 5. (Bài 5, trang 7 SGK)

Hai phương trình 0 x = và (x 1) 0 x − = có tương đương …