Chuyên đề tam giác đồng dạng, Ta-lét và liên quan bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 1

CHUYÊN ĐỀ: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, TA-LÉT VÀ LIÊN QUAN

MỤC LỤC

Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC ....................................................................................... 2

Chủ đề 2. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ............................................................ 16

Chủ đề 3. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC ............................................................. 26

Chủ đề 4. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG ............................................. 42

Chủ đề 5. ĐỊNH LÝ MENELAUS, ĐỊNH LÝ CE-VA, ĐỊNH LÝ VAN-OBEN ........................................ 53

A. Kiến thức cần nhớ ................................................................................................................................. 53

B. Bài tập vận dụng ................................................................................................................................... 57

PHẦN II. TỔNG HỢP VÀ MỞ RỘNG ....................................................................................................... 70

I. Kiến thức mở rộng ............................................................................................................................. 70

II. Một số ví dụ ....................................................................................................................................... 70

BÀI TẬP TỔNG HỢP .................................................................................................................................. 75

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 2

Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC

Bài 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex song song với AM và cắt tia CA, BA lần lượt tại F và G. Chứng minh: EF EG 2.AM .  

Tìm cách giải. - Để chứng minh EF EG 2.AM   , suy luận thông thường là dựng đoạn thẳng trên tia EF, EG bằng đoạn thẳng AM, rồi biến đổi cộng trừ đoạn thẳng. Chẳng hạn trong ví dụ này, qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt EF tại I. Dễ dàng nhận thấy EI = AM, do vậy chỉ cần chứng minh GI = IF là xong. Tuy nhiên để chứng minh GI = IF bằng cách ghép vào hai tam giác bằng nhau là khó khăn, chính vì vậy chúng ta chứng minh tỉ số bằng nhau có cùng mẫu số. Quan sát kỹ nhận thấy GI và IF có thể đặt trên mẫu số là IE! Từ đó vận dụng định lý và hệ

quả Ta-let để chứng minh FI IG IE IE  là xong.

- Ngoài cách trên, chúng ta có thể biến đổi kết luận thành tổng tỉ số và chứng minh

FF EG 2 AM AM   là xong. Do đó vận dụng định lý Ta-lét và biến đổi linh hoạt tỷ lệ thức là yêu

cầu tất yếu trong dạng toán này.

Trình bày lời giải Cách 1. Giả sử E thuộc đoạn BM. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại I. Ta có AMEI là hình bình hành, suy ra EI = AM. Áp dụng định lý Ta-lét, xét ΔEFC có AI // CE,

 AM//EF 1 IF FA EM IE AC MC   

Xét GEB  có AI // BE, AM // GE

 2 IG AG EM IE AB BM   

Từ (1) và (2), kết hợp với BM = MC Suy ra IG = IF. Ta có: EF EG EI IF+EI - IG=2.EI=2.AM    Cách 2. Giả sử E thuộc đoạn BM. Theo hệ quả định lý Ta-lét:

Xét ΔEFC có  EF EC EF//AM 3 AM CM  

Xét ΔABM có  EG BE EG//AM 4 AM BM  

Cộng vế theo vế (3) và (4) ta có:

EF EG EC BE AM AM CM BM    hay EF EG BC 2. AM BM   

Suy ra EF EG 2.AM.  

G

I

F

M B C

A

E

G

F

M

A

C B E

Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = CD.

Gọi giao điểm của AC với DB và DE theo thứ tự là I và K. Chứng minh hệ thức AK AC . KC CI 