Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Khối 5

1

CHUYÊN ĐỀ 1:

Phương trình và hệ phương trình. I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.

Bài 1:Gpt:

2 2 2

2 2 2 4 10. 11. 0. 1 1 1 x x x x x x                            Giải:

Đặt 2 2 ; 1 1 x x u v x x      

(1).

Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0 (u-v).(10u-v)=0 u=v hoặc 10u=v. Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.

Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15. Giải: Đặt x2 - 5x + 5 = u (1). Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15

(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0 (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0 (x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0 (u-1).(u+1)-15=0 u2-16=0 u= 4. Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 3:Gpt:

2

90. 1 1 x x x x                

Giải:PT 

2

2 2 1 1 . 90 ( 1) ( 1) x x x          

.

2 2

2 2 2 2 . 90 ( 1) x x x

   

.

Đặt u = x2 ( u 0) (1). Ta có:

2 2

2 2 2 . 90 2 2 90.( 1) ( 1) u u u u u u

      

( u 1).

 0 90 182 88 2    u u . Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.

Bài 4:Gpt: 3 3 3 2 3 12.( 1) x x x     .

Giải:

Đặt 3 3; 2 3 x u x v    (1).

Có: ) .( 4 ) .( 3 ) .( 4 3 3 3 3 3 3 3 v u v u uv v u v u v u         







            v u

v u v u v u v uv u v u 0 ) ).( .( 3 0 ) 2 ).( .( 3 2 2 2

Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.

ThuVienDeThi.com

2

Bài 5:Gpt: x x x x x 3 2 2 1 2 3 3 5

2 2 3       (1).

Giải:

Từ (1) suy ra: 1 6 2 3 3 5 .2 2 2 3       x x x x x

x x x x x x x x 12 2 12 1 36 8 12 12 20 2 3 2 4 2 3          

0 9 24 22 8 2 3 4       x x x x (x 0). 0 9 24 22 8 2 2       x x x x .

Đặt y x x  3 (*) ta có:

y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 6:Gpt:  ). 1( 0 18 4 1 ). 4 .( 3 ) 4 .( 1   

     x

x x x x

Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1. *Nếu x > 4, (1) trở thành: 0 18 ) 4 ).( 1 ( .3 ) 4 ).( 1 (        x x x x

Đặt 0 ) 4 ).( 1 (     y x x (2) ta có: y2 + 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x. *Nếu x < -1, (1) trở thành: 0 18 ) 4 ).( 1 ( .3 ) 4 ).( 1 (        x x x x

Đặt 0 ) 4 ).( 1 (     y x x (3) ta có: y2 - 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x. Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1). Giải: (1) 0 1 2 20 4 4 2 3 4       x x x x (x 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :

4x2 + 4x -20 + 2 1 2

x x  = 0.  0 24 1 2 .2 1 2

2

                 x x x x . Đặt y = x x 1 2  .(2)

Ta có: y2 + 2y -24 = 0. Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 8:Gpt: .0 16 8 .2 64 16 2 2 2        x x x x x Giải:PT .0 4 .2 8       x x x

x - 0 4 8 +

x-8 - - - 0 + x-4 - - 0 + + x - 0 + + +

ThuVienDeThi.com

3

Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.

Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4). Giải:

4 2 3 2 4 2 5 5 5 2 2 2 1 x x x x x x x          4 3 2 4 3 2 4 2 2 2 4 0 2 2 0 x x x x x x x x             Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x 0. Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:

2x2 - x + 1 - 0 2 1

2  x x . Đặt y = x x 1  (*). Ta có:

2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.

Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16. Giải: Đặt 7 - x = y (*). Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =16 2y4 +12 y2 +2 = 16 2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0 y =1 hoặc y = -1. Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x. II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau: Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) Giải: Đặt y2 + 3y = t. Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t. *Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn. *Nếu t < -2 thì 2t + 4 < 0 nên t2 + 2t > t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2. Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*). Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**). Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 …