20 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 8

Trang 1

Chương I:

TỨ GIÁC

Chuyên đề 1.

TỨ GIÁC

A. Kiến thức cần nhớ

1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng

không cùng nằm trên một đường thẳng (h.1.1 a, b).

Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) và tứ giác lõm (h.1.1 b). Nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta

hiểu đó là tứ giác lồi.

2. Tổng các góc của tứ giác bằng 360.

    360 . A B C D     

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD,   40 A B   . Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết  110 COD  . Chứng minh rằng AB BC  .

Giải (h.1.2)

* Tìm cách giải

Muốn chứng minh AB BC  ta chứng minh  90 B  .

Đã biết hiệu   A B  nên cần tính tổng   A B  .

* Trình bày lời giải

Xét COD  có       

2 2 180 180 2 C D COD C D      

(vì   1 2 C C  ;   1 2 D D  ).

Xét tứ giác ABCD có:       360 C D A B     , do đó

Trang 2

       360 180 180 180 2 2

A B A B COD        

Vậy   

2 A B COD   . Theo đề bài  110 COD   nên   220 A B   .

Mặt khác,   40 A B    nên    220 40 : 2 90 B     . Do đó AB BC  .

Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = BC và hai cạnh AD, DC không bằng nhau. Đường chéo DB là đường

phân giác của góc D. Chứng minh rằng các góc đối của tứ giác này bù nhau.

Giải (h.1.3 a,b)

* Tìm cách giải

Để chứng minh hai góc A và C bù nhau ta tạo ra một góc thứ ba làm trung gian, góc này bằng góc A

chẳng hạn. Khi đó chỉ còn phải chứng minh góc này bù với góc C.

* Trình bày lời giải

- Xét trường hợp AD < DC (h.1.3a)

Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho

DE = DA

ADB EDB   (c.g.c)

AB EB   và   1 A E  .

Mặt khác, AB BC  nên BE BC  . Vậy BEC  cân   2 C E   .

Ta có:     1 2 180 180 . E E A C      

Do đó:   360 180 180 . B D     

- Xét trường hợp AD > DC (h.1.3b)

Trên tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC

Chứng minh tương tự như trên, ta được:   180 A C   ;   180 . B D   

Ví dụ 3. Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo bằng a. Gọi M là một điểm bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất

của tổng MA MB MC MD    .

Giải (h.1.4)

* Tìm cách giải

Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MA MB MC MD    ta phải chứng minh MA MB MC MD k    

( k là hằng số).

Ghép tổng trên thành hai nhóm    MA MC MB MD    .

Ta thấy ngay có thể dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng.

* Trình bày lời giải

Trang 3

Xét ba điểm M, A, C có MA MC AC   (dấu “=” xảy ra khi M AC  ).

Xét ba điểm M, B, D có MB MD BD  

(dấu ‘=’ xảy ra khi M BD  ).

Do đó: MA MB MC MD AC BD a       .

Vậy min  MA MB MC MD a     khi M trùng với giao điểm O của

đường chéo AC và BD.

C. Bài tập vận dụng

 Tính số đo góc

1.1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tại hai

đỉnh còn lại.

1.2. Cho tứ giác ABCD có   220 A B   . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. Tính

số đo của góc CKD.

1.3. Tứ giác ABCD có   A C  . Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song song

với nhau hoặc trùng nhau.

1.4. Cho tứ giác ABCD có AD DC CB   ;  130 C  ;  110 D  . Tính số đo góc A, góc B.

( Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010 )

 So sánh các độ dài

1.5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

1.6. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết 3; 6,6; 6 AB BC CD    . Tính độ dài AD.

1.7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi

của tứ giác.

1.8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có

khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

1.9. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng

S a b c d   chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác

bằng nhau.

 Bài toán giải bằng phương trình tô màu

1.10. Có chín người trong đó …