Đề học sinh giỏi huyện lớp 7 môn Toán năm 2014 2015 phòng GD ĐT Nho Quan Ninh Bình

1

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1: (5,0 điểm)

1. Thực hiện các phép tính:

a) . 4 9 9 5 3 2 : 4 3         b) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 4 6 8 10 12 62 64

2. Cho 4 3 y x  ; 6 5 z y  và 2 3 4 372 x y z    . Tính A = 3 4 5 x y z  

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Tính giá trị của các biểu thức: a) B = 9x2 – 10x + 1, biết rằng 2 1 x . b) C = x3 + xy3 – x3y + y3; tại x, y thỏa mãn: 4 ( 1) x  + (y + 1)4 = 0 2. Tìm x biết: 1 2 3 ... 9 14 x x x x x         

Câu 3: (3,5 điểm)

1. Tìm các số a, b, c không âm, thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: a + 3c = 2014; a + 2b = 2015; tổng ( a + b+c ) đạt giá trị lớn nhất. 2. Trên bảng viết 99 số: 1, 2, 3, 4, ...,99. Cứ mỗi lần người ta xóa đi hai số bất kì , rồi lại viết giá trị của tổng hai số vừa xóa vào bảng. Cuối cùng trên bảng chỉ còn lại một số, giả sử đó là số k. Hãy tìm k và chứng tỏ k không phải là số chính phương.

Câu 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có 0 120 BAC   , phân giác AD (D BC)  . Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc với AC tại F. Lấy điểm K trên cạnh AC sao cho AK = AD.

1. Chứng minh rằng: AED AFD   và tam giác DEF là tam giác đều;

2. Chứng minh rằng: K là trung điểm của AC, từ đó suy ra AD = 1 2 AC;

3. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở T. Đặt CT = a; CF = b.

Chứng minh rằng: 4 3 a b  .

Câu 5: (1,0 điểm) Cho m, n, p là các số nguyên dương thỏa mãn: m2 = n2 + p2. Chứng minh rằng: tích m.n.p chia hết cho 15.

..................................... Hết .....................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

UBND HUYỆN NHO QUAN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 Hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (5,0 điểm)

1.a ( 1,5 điểm)

4 9 9 1 : 4 3 4 9 9 5 3 2 : 4 3          

= 9 4 36 4 9 1 9 . 4 3   

0,75 0,75

1.b ( 1,5 điểm)

6 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 2

= 30 6 1.2.3.4...30.31 1.2.3.4...30.31.2 .2

= 36 1 2

0,5 0,5 0,5

2. ( 2,0 điểm)

20 15 4 3 y x y x    ; 24 20 6 5 z y z y    24 20 15 z y x    (1)

(1) 2 3 4 2 3 4 372 2 30 60 96 30 60 96 186 x y z x y z          

Từ 2 3 4 2; 2; 2 30 60 96 x y z   ,suy ra 30; 40; 48 x y z   

Vậy A = 3 4 5 x y z   = 490

0,5 0,75 0,75

Câu 2 (4,0 điểm)

1.a ( 1,5 điểm) Ta có 2 1 1 x x   hoặc x = - 1

Với x = 1 thì B = 9.12 – 10. 1 + 1 = 0

Với x = - 1 thì B = 9.(- 1)2 – 10.(-1) + 1 = 20

Vậy x = 1 thì B = 0

x = - 1 thì B = 20

0,5 0,75 0,25

1.b ( 1,5 điểm) 1) Do 4 ( 1) x  ≥ 0; (y + 1)4 ≥ 0  4 ( 1) x  + (y + 1)4 ≥ 0 với mọi x, y. Kết hợp 4 ( 1) x  + (y + 1)4 = 0 suy ra 4 ( 1) x  = 0 và (y + 1)4 = 0  x = 1; y = - 1. Thay vào tính được giá trị của biểu thức C = 0

0,5 0,75 0,25

2. ( 1,0 điểm) Nhận xét: Vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó vế phải cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

3

Suy ra 14x  0 hay x  0. Với x  0 ta có: 1 2 3 ... 9 14 x x x x x          1 2 3 ... 9 14 x x x x x          9 45 14 x x    9 x   ( TM) Vậy 9 x 

0,25 0,25 0,5

Câu 3 (3,5 điểm)

1. ( 2,0 điểm) Từ a + 3c = 2014 , a + 2b = 2015 suy ra 2a + 2b + 3c = 4029 Do đó 2( a + b + c ) + c = 4029 Để (a + b + c) đạt giá trị lớn nhất thì c phải có giá trị nhỏ nhất. Mà c ≥ 0 nên c = 0.

Khi đó a = 2014; b = 1 2 ; c = 0

GTLN của (a + b + c) là 4029 2

0,25 0,25 0,75 0,75

2. ( 1,5 điểm) Nhận xét: Số k còn lại trên bảng chính là tổng của các số ban đầu: Do đó số cuối cùng còn lại trên bảng có giá trị là

k = 99.100 1 2 3 ... 99 4950 2      

Số k = 4950 = 2.32.52.11, không phải là số chính phương.

0,5 0,75 0,25

Câu 4 (6,5 điểm)

Vẽ được hình ý 1) , ghi GT- KL: 0,5 điểm 1. ( 2,0 điểm) Ta có AED AFD   ( Cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra DE = DF (1) 0,75 0,25

C B

A

E F

D

K

T

.