Đề giao lưu HSG lớp 7 môn Toán năm 2016 2017 phòng GD ĐT Chí Linh Hải Dương

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

Tìm x biết:

a)

2 1 1 x 0 3 16         

b) 3 1 x 2017 4 2   

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho a b c b c c a a b     

. Tính : a b b c c a P c a b       .

b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm.

b) Cho đa thức

2 2 10 2017 2 A x xy y y     và

2 2 5 8 2017 3 2018 B x xy y y      .

Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.

b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD

tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.

c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn 25 a b c d     .

Tìm giá trị lớn nhất của c d M b a   .

–––––––– Hết ––––––––

Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….

Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG

NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1

a

2 1 1 x 3 16        



1 1 1 x x 3 4 12 1 1 7 x x 3 4 12

                   

0,5

0,5

b

3 1 3 1 4035 x 2017 x 2017 4 2 4 2 2         0,25

3 4035 8067 x x 4 2 4 3 4035 8073 x x 4 2 4

                     

0,25

0,5

2

a

Ta có:           a b c a b c b c c a a b 2(a b c)

0,25

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b

Khi đó     P ( 1) ( 1) ( 1) 3 0,25

+ Nếu 0 a b c   thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

Khi đó           a b b c c a 2c 2a 2b P 6 c a b c a b

0,25

Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25

b

Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.

Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z x y z 6 4 3   

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z x y z 6 4 3 6 4 3        0,25

26 2 13  

 x = 12, y = 8, z = 6.

0,25

0,25

3 a

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.  f(-1) = 0 a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 a - b -2 = 0 a = b + 2. 0,25

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25

 f(2)=0 a.(2)2 +b.(2) -2 =0 4a + 2b -2 = 0

4(b +2) + 2b - 2 = 0 4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0 0,25

b = -1 a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25

b

C = A – B    2 2 2 2 10 2017 2 5 8 2017 3 2018 x xy y y x xy y y          0,25

         2 2 2 2 x 10xy 2017y 2y 5x 8xy 2017y 3y 2018     2 4x 2xy y 2018       2 C 4x 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C    2x y 2018    (2x y) 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được   C 1 2018 2017

0,25

0,25

0,25

4

F

5 4 3 2 1

E H

D

M C B

A

0,25

a

Xét ABM và ACM có:

AM chung; AB = AC ( ABC vuông cân); MB = MC (gt)

 ABM = ACM (c.c.c)

0,25

   AMB AMC  . Mà     0 0 AMB AMC 180 AMB AMC 90     

 AM  BC

0,25

- AMC có   0 0 AMC 90 ; ACM 45   ( ABC vuông cân tại A)

 AMC vuông cân tại M  MA = MC (1)

0,5

b

Ta có:   0 2 3 M M 90   (MD  ME) và   0 3 4 M M 90   (AM  BC)

   2 4 M M  (2)

0,25

- Do ABM = ACM    

0 BAC MAB MAC 45 2    0,25

Xét AMD và CME có:

AM = CM (theo (1));   2 4 M M  (theo (2));   0 MAD ACM 45  

 AMD = CME (g.c.g)  MD = ME

0,5