Đề thi Olympic Toán 7 năm 2017 2018 phòng GD ĐT Kinh Môn Hải Dương

1

UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề này gồm 5 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức : A = 2x2 – 3x + 5 với 1 2 x 

b) Tìm x, biết: 2 2 1 5 x x x    

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: 3 3 3 a b c a b c a b c a b c        

Tính giá trị biểu thức P = a b b c c a c a b     

b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm. Câu 3: (2,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x - 3y +2xy = 4 b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương. Câu 4: (3,0 điểm)

1) Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN.

a) Chứng minh rằng: MC = BN và BN  CM; b) Kẻ AH BC (H  BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN.

2) Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Điểm M nằm bên trong tam giác sao

cho MA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính số đo  AMB ?

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , ...., a2016 thỏa mãn :

1 2 3 2016

1 1 1 1 ..... 300 a a a a     

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau -------------- Hết ---------------- Họ và tên thí sinh:....................................... SBD:............................................... Giám thị 1:..................................................Giám thị 2:........................................

2

UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC

NĂM HỌC : 2017 – 2018

MÔN : TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm gồm: 5 câu, 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

1 (2,0đ)

a. (1,0đ).

Vì 1 2 x  nên x = 1

2 hoặc x = - 1

2

* Với x = 1 2 thì A = 2.( 1

2 )2 – 3. 1

2 + 5 = 4

0,25

0,25

*Với x = - 1

2 thì A = 2.(- 1

2 )2 – 3.(- 1

2 ) + 5 = 7

Vậy A = 4 với x = 1

2 và A = 7 với x = - 1

2 .

0,25

0,25 b. (1,0đ). vì 2 1 0 x x    nên ta có:

2 2 1 5 x x x     => 2 2 1 5 x x x     0,25

=> 1 5 x  => x + 1 = 5 hoặc x + 1 = - 5 0,25 * Trường hợp 1: x + 1 = 5 => x = 4 0,25 * Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6 Vậy x = - 6 hoặc x = 4 0,25

2 (2,0đ)

a. (1,0đ). Theo bài ra:

3 3 3 a b c a b c a b c a b c         (1) với a, b, c khác 0 ta có

=> 3 3 3 2 2 2 a b c a b c a b c a b c           

0,25

=> 3 2 3 2 3 2 a b c a a b c b a b c c a b c           

=> a b c a b c a b c a b c         (2)

0,25

+ NÕu a+ b + c  0 th× tõ (2) ta cã a = b = c

Khi đó P = a b b c c a c a b      = 2 2 2 2 2 2 6 c a b c a b       0,25

+ NÕu a + b + c = 0 th× a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b

Khi đó P = a b b c c a c a b      = 1 1 1 3 c a b c a b       0,25

b. (1,0đ). Vì đa thức (x - 1). f (x) = (x +4). f(x +8) đúng với mọi x nên *) Với x = 1 thì ta có: (1 - 1). f(1) = (1 + 4) . f(9) 0. f(1) = 5. f(9) f( 9) = 0 Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x)

0,25

3

*) Với x = - 4 thì ta có : -5. f(-4) = 0. f(4) f(-4) = 0 Suy ra x = - 4 là 1 nghiệm của đa thức f(x)

0,25 *) Với x = 9 thì ta có: 8. f(9) = 13. f(17) f(17) = 0 (vì f(9) = 0) Suy ra x = 17 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25

*) Với x = 17 thì ta có: 16. f(17) = 21. f(25) f(25) = 0 (vì f(17) = 0) Suy ra x = 25 là 1 nghiệm của đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm là 9 ; - 4; 17; 25

0,25

3 (2,0đ)

a. (1,0đ). Ta có: x - 3y + 2xy = 4 => 2x+ 4xy - 6y = 8 => 2x + 2x.2y - 3.2y - 3 = 8 - 3 => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = 5 => (2x - 3)(1 + 2y) = 5 Vì x, y  Z nên 2x - 3 ; 1 + 2y Z nên 2x - 3 ; 1 + 2y ¦(5)

0,5

Ta có bảng sau

2x – 3 - 1 -5 1 5 1 + 2y - 5 -1 5 1 x 1 -1 2 4 y -3 -1 2 0

0,25

Vì x, y nguyên nên các cặp số nguyên thỏa mãn là: (x; y)   (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0) 

0,25

b. (1,0đ). Giả sử n2 + 2018 là số chính phương với n là số tự nhiên Khi đó ta có n2 + 2018 = m2 (m * N  )

0,25

Từ đó suy ra : m2 - n2 = 2018  m2 – mn + mn - n2 = 2018

m(m - n) + n(m – n) = 2018  (m + n) (m – …