Đề học sinh giỏi huyện lớp 7 môn Toán năm 2021 2022 phòng GD ĐT Tiền Hải Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,5 điểm) 1) Thực hiện phép tính:

a) 7 24 A 1 1 9 25     b)  

12 7 6 3

6 5 3 2 3 .5 9 .25 B 27 .25 3 .5

  

2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Bài 2 (4,0 điểm)

a) 2024x 1011x 2 1012x 3    

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 40 3x 13 x   với x là số nguyên khác 13.

Bài 3 (4,5 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m 1  a) Với m = 2. Hãy tính f(2022).

b) Tìm giá trị của m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1, x2 là các số thực khác 0.

2) Tìm 3 phân số có tổng bằng 9 9 70 , biết các tử số tỉ lệ theo 3:4:5 và các mẫu số tương

ứng tỉ lệ theo 5:1:2. Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân tại B. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. 1) Chứng minh: Hai tam giác ABI và BEC bằng nhau. 2) Chứng minh: BI vuông góc với CE. 3) Phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D, phân giác của góc BDC cắt cạnh BC tại M.

Phân giác góc BDA cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh: BD = 1 MN 2 .

Bài 5 (1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, ……., a2021, a2022 là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn:

1 2 3 2021 2022

1 1 1 1 1 ...... 1 a a a a a      . Chứng minh rằng: Tồn tại ít nhất một số trong 2022

số đã cho là số chẵn. ……Hết…… Họ và tên thí sinh :………………………………….Số báo danh :…………

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 7

BÀI Ý NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM

1(4,5đ)

1) Thực hiện phép tính :

a) 7 24 A 1 1 9 25     b)  

12 7 6 3

6 5 3 2 3 .5 9 .25 B 27 .25 3 .5

  

1a(1,5đ)

7 24 A 1 1 9 25     16 1 9 25   0,5

4 1 A 3 5   0,25

20 3 23 A 5 5 15    0,5

Vậy 23 A 15  0,25

1b(1,5đ)

 

12 7 6 3

6 5 3 2 3 .5 9 .25 B 27 .25 3 .5

   =

12 7 12 6

15 6 12 6 3 .5 3 .5 3 .5 3 .5   0,5

   

12 6

12 6 3 3 .5 5 1 B 3 .5 3 1

   0,5

6 3 B 28 14   . Vậy 3 B 14  0,5

2(1,5đ)

2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số . Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương.

Vì n là số tự nhiên có hai chữ số => 9 < n < 100 18 2n 200    0,5

Mà 2n là số chính phương chẵn 2n   36;64;100;144;196 

  n 18;32;50;72;98   0,5

Mà n + 4 là số chính phương => n = 32. Vậy n = 32 0,5

2(4,0đ) 2a(2,0đ)

a) 2024x 1011x 2 1012x 3    

1011x 2 1012x 3 2024x      0,25

Do 1011 x 0 x,1012 x 0 x x 0      0,25

= > 1011x+ 2 + 1012x + 3 = 2024x 0,5 = > 2023x +5 = 2024x 0,5 = > x = 5 . Vậy x = 5 0,5

2b(2,0đ) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 40 3x 13 x   với x là số

BÀI Ý NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM nguyên khác 13.

Ta có P = 40 3x 13 x   = 1 3 13 x   với x 0  0,5

Suy ra P lớn nhất khi 1 13 x  lớn nhất 0,25

* Nếu x > 13 thì 1 13 0 0 13 x x     .

* Nếu x < 13 thì 1 13 0 0 13 x x     . 0,5

Từ 2 trường hợp trên suy ra 1 13 x  lớn nhất khi 13-x > 0 0,25

Vì phân số 1 13 x  có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử

không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.

Hay 13 1 12 x x   

0,5

Suy ra P có giá trị lớn nhất là 4 khi x =12 0,25

3(4,5đ)

1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m 1  a) Với m = 2 . Hãy tính f (2022).

b) Tìm giá trị của m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1,x2 là các số thực khác 0.

1a(1,5đ) Với m = 2 thỏa mãn m 1 => f(x) = 3x 0,75 Ta có f(2022) = 3.2022 = 6066 0, 5 Vậy với m = 2 thì f(2022) = 6066 0,25

1b(1,5đ)

Ta có f(x1) = (m + 1)x1 , f(x2) = (m + 1)x2 = > f(x1).f(x2) = (m + 1)2x1.x2 0,5

Mà f(x1x2) = (m + 1) x1x2 0,25 Để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) => (m + 1)2x1x2 = (m + 1) x1x2 0,25 Do x1,x2 là các số thực khác 0 , m 1  = > m + 1 = 1 => m = 0 ( tm m 1 ) Vậy để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) thì m = 0 0,5

2(1,5đ)

2) Tìm 3 phân số có tổng bằng 9 9 70 , biết các tử số tỉ lệ theo

3:4:5 và các mẫu số tương ứng tỉ lệ theo 5:1:2.

Gọi 3 phân số cần tìm là x = , , , a b c ;y ;z a b c   với a, a’, b,b’, c, 0,25