Đề học sinh giỏi lớp 7 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Thọ Xuân Thanh Hoá

UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 -2023

MÔN THI: TOÁN - LỚP 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12/3/2023

Đề gồm có 01 trang Câu I. (4,0 điểm) 1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A=

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 2 3 4

− + − + + − + − +

;

b) B = 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2022 2023        − − − − −              .

2. Cho đa thức R(x) = x2 – 2x. Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 1 ... . (3) (4) (5) (2023) 2.2023 S R R R R = + + + + +

Câu II. (4,0 điểm)

1. Tìm x, y, z biết 2 1 3 1 1 1 2 2 y z z x x y x y z x y z + − + + + − = = = + − − + + − (với giả thiết

các tỉ số đều có nghĩa).

2. Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường phải sửa cho 3 tổ: Tổ 1, Tổ 2, Tổ 3 tương ứng theo tỷ lệ 4 : 5 : 6. Nhưng sau đó, vì số người thay đổi nên đơn vị đã chia lại số mét đường phải sửa cho Tổ 1, Tổ 2, Tổ 3 tương ứng theo tỷ lệ 3 : 4 : 5. Do đó, có một tổ làm ít hơn dự định là 20m đường. Tính số mét đường đơn vị đã chia lại cho mỗi tổ.

Câu III. (4,0 điểm) 1. Chứng minh rằng nếu ?? là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (??+ 1)(??−1) chia hết cho 24.

2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:

2 2 2 ( ) 2( 4 ) 4 . x y xy y y xy y y − + + − = + −

Câu IV. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân có đáy là BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Kẻ AK vuông góc với CM tại K. Kẻ AQ vuông góc với HN tại Q.

1. Chứng minh rằng AK = HC = AQ. Tính số đo góc BKA. 2. Chứng minh tam giác ABH cân và HM là tia phân giác của góc BHE. 3. Gọi I là điểm di động trên tia CA, J là điểm di động trên tia CB. Xác định vị trí các điểm I, J sao cho tam giác HJI có chu vi bé nhất.

Câu V. (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ... . 65 5 6 7 2023 40 < + + + + <

-------------- Hết-------------- Họ và tên thi sinh……………….....……….....……. Số báo danh …….…….......

UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC THỌ XUÂN

HƯỚNG DẪN CHẤM

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN -LỚP 7 Hướng dẫn chấm có 07 trang

Câu Nội dung Điểm

I

1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A=

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 ; 5 5 5 5 5 5 4 11 13 2 3 4

− + − + + − + − +

B = 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2022 2023        − − − − −              . 2,0

a) A =

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 2 3 4

− + − + + − + − +

=

1 1 1 3. 4 11 13 1 1 1 5. 4 11 13

  − +    +   − +    

1 1 1 2 3 4 1 1 1 5. 2 3 4

− +

  − +    

0, 5

=

3 1 5 5 + 0,25

=

4 5 0,25

b) B =

1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2022 2023        − − − − −              

=

1 2 3 2021 2022 . . ... . 2 3 4 2022 2023

0, 5

= 1 2023 . Vậy B =

1 2023 0, 5

2. Cho đa thức R(x) = x2 – 2x. Tính giá trị của biểu thức

1 1 1 1 1 ... (3) (4) (5) (2023) 2.2023 S R R R R = + + + + + 2,0

Ta có R(x) = x2 – 2x = x(x - 2). Do đó:

1 1 1 1 1 ... (3) (4) (5) (2023) 2.2023 S R R R R = + + + + +

1 1 1 1 1 ... 1.3 2.4 3.5 2021.2023 2.2023 = + + + + +

0,5

1 2 2 2 2 1 ... 2 1.3 2.4 3.5 2021.2023 2.2023   = + + + + +    

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 2 4 3 5 2019 2021 2020 2022 2021 2023 2.2023   = − + − + − + + − + − + − +    

0,5

= 1 1 1 1 1 1 2 2 2022 2023 2.2023   + − − +     0,5

1 1 1 1 1516 758 1 . 2 2 2022 2 1011 1011   = + − = =     0,5