Đề thi kiểm tra năng lực hội thi giáo viên dạy giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn Toán

PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC ---------o0o-------- HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán Thời gian: 120 phút

Bài 1: a) Tìm các chữ số x, y sao cho 2013xy 72 M b) Đa thức bậc bốn f(x) thỏa mãn f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 và f(x) = f(-x). Tính f(3) c) Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó tỷ lệ với 3 số nào ? Giải: a) Ta có 72 = 9. 8 và (9; 8) = 1. Do đó  chia hết cho 8, cho 9 2013xy 72 M 2013xy

    2013xy 8 3xy 8 300 xy 8 4 xy 8      M M M M

 (1)   xy 04;12;20;28;36;44;52;60;68;76;84;92 

(2). Từ (1) và (2) ta tìm được   2013xy 9 6 x y 9    M M        x;y 1;2 ; 8;4 

b) Đa thức bậc bốn có dạng , theo bài ra f(x) = f(-x) do đó 

4 3 2 f x ax bx cx dx e     

4 3 2 4 3 2 3 ax bx cx dx e ax bx cx dx e bx dx 0             Vậy với f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 

4 2 f x ax cx e   



a c e 2035 a c 22 a 10

16a 4c e 2221 4a c 52 c 12

e 2013 e 2013 e 2013

                              



4 2 f x 10x 12x 2013   



4 2 f 3 10.3 12.3 2013 2931    

c) Gọi độ dài 3 cạnh của một tam giác là a, b, c. Diện tích là S và 3 chiều cao tương ứng là x, y, z ta

có: . Vì 3 cạnh tỷ lệ với 2, 3, 4 nên 2S 2S 2S a ;b ;c x y z    a b c 2S 2S 2S 2 3 4 2x 3y 4z     

. Vậy ba chiều cao tỷ lệ với 6, 4, 3 x y y z x y z 2x 3y 4z ; 3 2 4 3 6 4 3         

Bài 2: a) Giải hệ phương trình b) Giải phương trình

5x 4y 2 xy 60y 80x 1 xy

       

4 3 2 9x 15x 3x 3x 2 0     

Giải: a) ĐKXĐ: x, y  0.

Hệ phương trình tương đương (TMĐK)

4 5 64 80 124 2 32 31 x 4 x y x y x 80 60 60 80 60 80 y 5 1 1 1 y x x y x y

                                     

Vậy nghiệm của hệ phương trình x 4 y 5     b) Phương trình tương đương

   4 3 3 2 2 3 2 9x 6x 9x 6x 9x 6x 3x 2 0 3x 2 3x 3x 3x 1 0              

3x – 2 = 0  x = 2 3

 

3 3 2 3 3 2 3 3

3

1 3x 3x 3x 1 0 4x x 3x 3x 1 4x x 1 x 4 x 1 x

4 1              



ThuVienDeThi.com

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 3 2 1 ; 3 4 1       

Bài 3: Cho biểu thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3 C

x 2 x 3 1 x x 3          

a) Rút gọn biểu thức b) So sánh giá trị của C với 2 3

Giải: ĐKXĐ:

x 0

x 0 x 2 x 3 0 x 1 1 x 0

 

             

a)   

       

15 x 11 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1 15 x 11 3 x 2 2 x 3 C

x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x 1

                   

=   

     

x 1 2 5 x 5x 7 x 2 2 5 x x 3 x 3 x 1 x 3 x 1

       

    

b) Ta có       

3 2 5 x 2 x 3 2 2 5 x 2 17 x 2 C 0 C 3 3 3 x 3 3 x 3 3 x 3

               

Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D

a) Chứng minh rằng · · AMD ABC  b) Chứng minh rằng BMD cân c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên đường nào ? Có nhận xét gì về độ lớn khi ·BDC vị trí điểm M thay đổi Giải: a) Từ giác ABCM nội tiếp nên · · 0 ABC AMC 180   (kề bù) · · 0 AMD AMC 180   · · AMD ABC   b) Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) · · AMB ACB 

; MH  BD (gt) · · · AMB ABC AMD    Do đó MH vừa là đường cao, vừa là phân giác của BMD nên BMD cân tại M

c) Ta có không đổi µ · · µ 0 0 180 2AMD 180 2ABC A D 2 2 2     

D chạy trên cung tròn chứa góc dựng trên đoạn BC àA

2

Bài 5: Cho các số thực a, b thỏa mãn và . Chứng minh rằng 0 b a 4    a b 7   2 2 a b 25   Giải: Ta có . Áp dụng BĐT Bunhia ta có:       2 2 a b a b a b a b 4 a b 7b 4a 3b          

       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a 3b 4 3 a b a b 25 a b a b 25           

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 4; b = 3 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn

A

B C

O

M

D

H

ThuVienDeThi.com