Chuyên đề Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956

YM: Quangthai19885 trang Buôn Ma Thuột 2010 1

A – NGUYÊN HÀM I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa:

với ( ) ( ) f x dx F x C   

'( ) ( ) ons F x f x C c t     

VD 01: 2 ( )' 2 x x   2 2xdx x C   

1 (ln )' , 0 x x x    1 ln | | dx x C x   

' 1 x   dx x C    (sinx)' cos x   cos sin xdx x C    ( )' .ln x x a a a   ln x x a adx a C    ( )' x x e e   x x e dx e C    Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa… Các tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 1: ( )' ( ) f x dx f x C    Tính chất 2: . ( ) ( ) , ons k f x dx k f x dx k c t     Tính chất 3: [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx       VD 02:

a) b) c) xdx 

5 dx x

x a dx 

d) e) f) (cos sin ) x x dx  

1 xe dx x        

2 3x dx 

2. Nguyên hàm một số hàm thường gặp Bảng 1:

kdx kx C    1 1 1 ( 1) n n dx C x n x     

1

, 1 1

n n x x dx C n n

      Với 1 1 1: ln | | n x dx dx x C x

      

ln

x x a a dx C a    Với : ln

x x x e a e e dx C e C e      

VD 03: a) b) c) 2x dx  xdx 

2 3x dx 

d) e) f) 4 4x dx  3 1 dx x

1 3 x dx  

g) h) i) 2 2

x dx x

         

4 ( 1)( 3 ) x x x dx   

2 3 2 x x dx        

j) k) l) 3 (2 5 7) x x dx   

2 2 1 1 3 x dx x          3xdx 

m) n) o) 2 10 xdx    3 x x dx   2 x x x dx x

 

p) q) r) ( 1)( 5) x x x dx   

3 1 x dx x        

3 2 (2 1) x dx  

ThuVienDeThi.com

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956

YM: Quangthai19885 trang Buôn Ma Thuột 2010 2

s) t) u) 3( 1)( 2) x x x dx    

3 ( 1) xe dx   2x xe dx  Bảng 2:

1 1 .ln | | dx ax b C ax b a     

1 1 ( ) ( ) . 1

n n ax b ax b dx C a n

      

1 . ln

ax b ax b k k dx C a k

    

1 . ax b ax b e dx e C a

    

VD 04:

a) b) c) 3 2 5 dx x  

1 2 2 dx x   2

4 4 2 3 x dx x x    

d) e) f) 2

4 2 1 x dx x x    

3

2 2 1 x dx x x   

3

4 1 x dx x  

g) h) i) 4 (2 1) x dx  

2 3 2 ( 1) x x dx  

2 2 2 x x e e dx    

Bảng 3:

sin cos xdx x C    cos sin xdx x C   

2 2 1 (1 cot ) cot sin dx x dx x C x      

2 2 1 (1 tan ) tan cos dx x dx x C x      

1 sin( ) .cos( ) ax b dx ax b C a     

1 cos( ) .sin( ) ax b dx ax b C a     

2 2

1 [1 cot ( )] sin ( )

1 .cot( )

dx ax b dx ax b

ax b C a

   

  

 

2 2

1 [1 tan ( )] cos ( )

1 .tan( )

dx ax b dx ax b

ax b C a

   

  

 

VD 05: a) b) c) 2 sin xdx 

2 cos xdx 

2 2 4(cos sin ) x x dx   d) e) f) 2 tan xdx 

2 cot xdx 

3 sin xdx  g) h) i) 3 cos xdx 

2 sin .cos x xdx  cos(3 4) x dx  

k) l) m) sin 2xdx  cos 2

x dx  sin cos x xdx 

n) o) p) 2

1 cos (3 2) dx x  

4 sin xdx 

4 cos xdx 

q) r) s) 2 sin cos x xdx  sin3xdx 

4 cos sin x xdx  II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Một số kết quả thường gặp khi tính nguyên hàm

( ) ( ) f x dx f t dt    1 1 1 1 ( ) ( 1)( ) n n dx C ax b a n ax b       

' ln | | u dx u C u   

1 '. 1

n n u u u dx C n

    

Nếu thì ( ) ( ) f x dx F x C   

1 ( ) . ( ) f ax b dx F ax b C a     

2. Các phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến:

ThuVienDeThi.com