20 Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8

20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG TOÁN 8

1

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. MỤC TIÊU:

* Hệ thống lại các dạng toán và các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B. CÁC PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ƣớc của hệ số tự do, q là ƣớc

dƣơng của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử

bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)

a - 1 và f(-1)

a + 1 đều là số nguyên.

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ƣớc của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2: x3 – x2 - 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4  , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm

của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện

một nhân tử là x – 2

Cách 1:

x3 – x2 – 4 =       3 2 2 2 2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2) x x x x x x x x x x            =    2 2 2 x x x   

ThuVienDeThi.com

20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG TOÁN 8

2

Cách 2:    3 2 3 2 3 2 2 4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2) x x x x x x x x x x x                

=    2 2 2 2 4 ( 2) ( 2)( 2) x x x x x x x             

Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5

Nhận xét: 1, 5  không là nghiệm của f(x), nhƣ vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên

f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x = 1

3 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =     3 2 2 3 2 2 3 6 2 15 5 3 6 2 15 5 x x x x x x x x x x           

= 2 2 (3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5) x x x x x x x x         

Vì 2 2 2 2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0 x x x x x           với mọi x nên không phân tích đƣợc thành

nhân tử nữa

Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử

bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)

Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên

không phân tích đƣợc nữa

Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)

= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)

Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)

= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:

ThuVienDeThi.com