Đề thi học sinh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2006-2007 - Trường THCS Nam Giang (Có đáp án)

Phòng giáo dục Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Thọ xuân THCS Năm học: 2006 - 2007

Trường THCS Nam Giang Môn thi: toán

(Thời gian làm bài 150 phút – không kể thời gian giao đề)

đề bài

CâuI- (4®) : Tính giá trị của biểu thức :

1,

2, +

Câu II- (5®) : Giải các phương trình sau :

1, + =

2, + = 3 3, x4 – 3x3 + 4x2 –3x +1 = 0 Câu III- (3®) : 1, Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

+1 +2 + 8

2, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

- >

Câu III – (3®) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

a, y =

b, y = - 4

Câu VI (5®) : Cho tam giác ABC vuông ë A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE

5 12 29 3 5   

3 2  3 5 14 

1  x

x

1 1

 x 1 2

2  x

1 2 2  x x 4 4 2  x x

2 1 a 2 1 b 2 1 c  abc

32

1  n n 1 2

1

 n

9 4 2

1 2

2

2

 

 

x x

x x

2 1 3  x

DeThi.edu.vn

b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH . d, Tính diện tích tứ giác DENM

-------------------&*&---------------------

DeThi.edu.vn

Đáp án và biểu chấm

môn: toán 9 Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a,(2đ)

= (0,5 ®)

= (0,5®)

= (0,25®)

= (0,5®)

= (0,25®)

= 1 b. (2®)

+ = (0,5®)

= (0,25®)

= (0,5®)

= (0,5®)

= (0,25®)

Câu II: (5điểm) Giải phương trình sau.

a. (1,5®)

- Tìm được ĐKXĐ: x  ± 1 (0,5®)

- Giải và tìm nghiệm x = 1  ĐKXĐ (1®)

x = - 3  ĐKXĐ

b. . (1,5®)

Trang 1

5 12 29 3 5    2) 3 5 2 ( 3 5   

3 5 2 3 5   

5 2 6 5  

2)1 5 ( 5  

1 5 5  

3 2  3 5 14  2

3 5 14 3 2 ( 2   

2

3 10 28 3 2 4   

2

) 3 5 ( )1 3 ( 2 2   

2

3 5 1 3   

2 3 2

6 

1 2 1 1 1 2      x x x

x

3 4 4 1 2 2 2       x x x x

DeThi.edu.vn

- Biến đổi đưa phương trình về dạng. | x – 1| + | x – 2 | = 3 (0,5®) - Xét đúng các trường hợp của phương trình (0,5®) - Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3 (0,5®) c. (2®) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 Lý luận x = 0 không phải là nghiệm nếu phương trình có nghiệm thì x  0 chia cả 2 vÕ cho x2 ta được:

x2 – 3x + 4 - + = 0 (0,5®)

- Đưa phương trình về dạng:

( x2 + ) – 3 (x + ) + 4 = 0 (0,25®)

- Đặt được ẩn phụ và đưa phương trình về dạng (Đặt y = x + )

y2 – 3y + 2 = 0 (0,5®) - Giải tìm được nghiệm y = 1; y = 2 (0,25®) - Tìm được ẩn x từ ẩn phụ y đúng trong các trường hợp (0,25®)

Nghiệm của phương trình là x = 1 (0,25®) Câu III: (3điểm) a.(1,5đ) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

( + 1 ) ( + 2 ) ( + 8 ) 

- áp dụng được bất đẳng thức Cô Si cho các số dương (1®)

+ 1  2 =

+ 2  2

 2

 ( + 1 ) ( + 2 ) ( + 8 )  (0,25®)

Dấu “=” xảy ra khi a = 1; b = ; c = (0,25®)

Trang 2

x 3

2 1 x

2 1 x x 1

x 1

2 1 a 2 1 b

2 1 c abc

32

2 1 a 2 1 a a 2

2 1 b b b

2 2 2

2 

8 1

2  c c c

2 4 8

2 

2 1 a 2 1 b 2 1 c abc

32

2

1

2 2

1

DeThi.edu.vn

b.(1,5đ) Chứng minh rằng với mọi n  N ta có

- Biến đổi

= (0,25®)

- So sánh được: > (0,5®)

- Từ đó suy ra:

Câu IV:(3điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất các hàm số:

a. (2®) y =

= (0,5®)

= (0,25®)

= (0,25®)

- Lý luận được y min khi max (0,25®)

- Tìm max = khi x = -1 (0,25®)

-  được y min = khi x = -1 (0,5®)

b.(1đ) y = | x + 3 | - 4

- Lý luận được | x + 3 |  0  x (0,25®)

Trang 3

1 2

1 1

   

n n n

n n

n n n n n n

 

      

1

) 1 )( 1 ( 1

n n  1

1

n n  1

1

1 2

1

 n

1 2

1 1

   

n n n

9 4 2

1 2

2

2

 

 

x x

x x

9 4 2

2 11 ) 9 4 2 ( 2 1

2

2

 

  

x x

x x

18 8 4

11 2 1

2    x x

14 )1 ( 4

11 2 1

2    x

14 )1 ( 4

11

2   x

14 )1 ( 4

11

2   x 14

11

7 2 14

11 2 1  

2 1

2 1

DeThi.edu.vn