Các đề luyện thi Đại số 12 - Bài 2 Cực trị của hàm số

Trang 1

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Mục tiêu

❖Kiến thức

+ Nắm vững định nghĩa cực trị của hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số;

điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+ Hiểu và vận dụng được các định lí về điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

+ Trình bày và vận dụng được các cách tìm cực trị của một hàm số.

+ Nhận biết được các điểm cực trị trên đồ thị hàm số.

❖Kĩ năng

+ Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số đã biết.

+ Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị.

DeThi.edu.vn

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên   K K ¡ và

0x K 

a) 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu

tồn tại một khoảng   ;a b K  chứa điểm 0x sao

cho      0 0 , ; \ . f x f x x a b x  

Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm

số f.

b) 0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu

tồn tại một khoảng   ;a b K  chứa điểm 0x sao

cho      0 0 , ; \ . f x f x x a b x  

Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của

hàm số f.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó,

nếu f có đạo hàm tại điểm 0x thì   0 0. f x  

Chú ý:

1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo

hàm f có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm số f

không đạt cực trị tại điểm 0x .

Chú ý:

1) Điểm cực đại (cực tiểu) 0x được gọi chung là

điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu)   0 f x của

hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt

cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu)   0 f x

không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

f trên tập K;   0 f x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

của hàm số f trên một khoảng   ;a b chứa 0x .

3) Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm

    0 0 ; x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm

số f.

Ví dụ 1: Hàm số  y f x x   xác định trên ¡ . Vì

 0 0 f  và  0, 0 f x x   nên hàm số đạt cực

tiểu tại điểm 0 x  dù hàm số không có đạo hàm tại

điểm x = 0, vì:

, 0 1, 0 . , 0 1, 0

x x x y x y x x x

               

Ví dụ 2: Ta xét hàm số 

3 f x x  , ta có:



2 3 0, 0 f x x x     . Hàm số đồng biến trên ¡

nên không có cực trị dù  0 0. f  

DeThi.edu.vn

Trang 3

2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà

tại đó hàm số không có đạo hàm.

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

a) Nếu  f x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi

qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực

tiểu tại điểm 0x .

b) Nếu  f x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi

qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực

đại tại điểm 0x .

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng

  ;a b chứa điểm   0 0 , 0 x f x   và f có đạo hàm

cấp hai khác 0 tại điểm 0x .

a) Nếu   0 0 f x   thì hàm số f đạt cực đại tại

điểm 0. x

b) Nếu   0 0 f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm 0. x

Nếu   0 0 f x   thì ta chưa thể kết luận được, cần

lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

DeThi.edu.vn