Giải một bài toán hình lạ kì - Hình học Lớp 9 - Ngô Vĩnh Chiến

Giải một bài toán hình lạ kì

Lời bàn: Đây là một bài toán với các hệ thức một chia cho các tỷ số của thầy

giáo:” Ngô Vĩnh Chiến”. Thấy bài toán hay nên tôi đã bổ sung thêm một số hệ

thức hoàn chỉnh để có nên bài toán độc đáo như sau.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đề bài: Cho ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC có AH là

đường cao. Trên tia đối tia CB lấy D sao cho CD = AC

1/Chứng minh:

2/ Đường thẳng qua B song song OA cắt DA tại F. Chứng minh:

3/ Đường thẳng vuông góc AH tại A cắt BF tại E, EH cắt AB và AO lần lượt tại

J và K. Chứng minh:

4/ Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I. Lấy G là trung điểm của IH.

Chứng minh:

5/ Chứng minh:

6/ Tia phân giác của góc cắt BC tại Q. Chứng minh:

7/ Kẻ các đường phân giác trong AV và CU của tam giác AOC.

Chứng minh:

8/ Tiếp tuyến tại B cắt AI tại P, AE cắt (O) tại R, AC cắt BR tại S, PS cắt AB tại T.

Chứng minh:

9/ Trên tia đối tia AI lấy M bất kì. HM cắt AC tại N.

Chứng minh: khi = 1200.

10/ BE cắt (O) tại Z. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của EB và OR.

Chứng minh: khi

11/ Vẽ đường kính AA’ của (O). Gọi O’ là điểm đối xứng A qua A’. Tia IA’ lần

DeThi.edu.vn

lượt cắt BO’ và CO’ lần lượt tại B’ và C’. Chứng minh:

12/ Vẽ các đường phân giác trong BM’ và CN’ của tam giác BCO’.

Chứng minh: khi 3 điểm M’ ; N’ và A’ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình 1: Từ câu 1 đến câu 7

Hình 2: Từ câu 8 đến câu 10

Hình 3: Từ câu 11 đến câu 12

1/

Ta có AC2 = HC.BC  HC.BC + BC.AC = AC2 + BC.AC

 BC.(HC + AC) = AC.(AC + BC)  BC.HD = DB.DC

  (luôn đúng)

2/

DeThi.edu.vn

Dễ thấy góc ABF = góc BAO = góc ABD nên AB là tia phân giác góc DBF

.Áp dụng định lý ta let với đường phân giác ta có

  (luôn đúng)

3/

Dễ thấy tứ giác AEBO là hình thoi. Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có

  

Ta có: 1  (luôn đúng)

4/

Dễ dàng chứng minh được: IB.IC = IH.IO (cùng bằng với IA2 ) nên ta có

(luôn đúng)

5/

Dễ dàng chứng minh được AB là tia phân giác góc HAI. Kết hợp với 2 tam giác OAI

Và AHI đồng dạng ta có tỉ số => BH.OI = IB.OA = IB.OB

Ta có (luôn đúng)

6/

Dễ thấy góc BAH = góc ACB = góc OAC. Từ đó suy ra góc BAQ = góc CAQ

Lại có: góc IAQ = góc IAB + góc BAQ = góc ACB + góc CAQ = góc AQI

Suy ra tam giác AQI cân tại I hay AI = IQ. Theo như trên ta có IQ2 = AI2 = IB.IC

 IQ2 = (IQ – QB).(IQ + QC) = IQ2 +QC.IQ – QB.IQ – QB.QC

 IQ.(QC – QB) = QB.QC 

 (luôn đúng)

7/

DeThi.edu.vn

Trong tam giác AOC. Áp dụng tính chất đường phân giác ta có

=> UV // AC. Suy ra

  (luôn đúng)

8/

Dễ thấy AR // BC nên sđcung AB = sđcung RC.

Ta có: góc ASB = (sđcung AR + sđcungAB) : 2 = sđcung AB = góc AOB

Vậy tứ giác ASOB nội tiếp. Mà dễ thấy tứ giác BPAO nội tiếp nên 5 điểm B, P, A, S, O

cùng thuộc 1 đường tròn => góc BSP = góc BAP = góc BRA => PS // AR.

Vậy AR // PS //AB. Áp dụng định lý ta lét ta có

= 1  (luôn đúng)

9/ khi = 1200.

Trên cạnh AM lấy điểm T’ sao cho NT’ // AH. Dễ thấy góc MAC = góc ABC = góc

HAC nên AC là tia phân giác góc HAM. Với giả thiết góc HAM = 120 độ, dễ dàng

chứng minh được tam giác ANT’ đều => AN = AT’ = NT’.

Áp dụng định lý ta let ta có

: = 1

 (luôn đúng)

10/ khi

Gọi H’ là trung điểm của cạnh AR. Dễ thấy tứ giác AHOH’ là hình chữ nhật.

Từ đó suy ra AR = 2AH’= 2OH hay AR = 2OH.

Mặt khác dễ thấy 2 tam giác OHA và BZC đồng dạng nên

= 2 => BZ = 2OH

Mặt khác theo như trên ta có tứ giác AEBO là hình thoi nên AE = OB = BE và XY là

đường trung bình của hình thang BERO nên ta có:

XY = (OB + RE) : 2 = ( OB + AE + AR) : 2 = (OB + OB + 2OH) : 2 = OB + OH

EZ = BE + BZ = OB + 2OH.

DeThi.edu.vn