Trao đổi chuyên môn Toán 12 - Tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác - Nguyễn Ngọc Ấn

Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com

Tỉ số diện tích trong tam giác 1

TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ DIỆN TÍCH TRONG TAM GIÁC

Trong tài liệu Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS dành cho các lớp 10 -11-12 của TS. Nguyễn Thái Sơn, giảng viên trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, xuất bản năm 2015 có giới thiệu một kết quả liên quan đến tỉ số diện tích trong tam giác nhưng không trình bày chứng minh. Bài viết nhỏ này làm rõ và bổ sung thêm một số tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác với mong muốn chia sẻ cùng các đồng nghiệp. Tỉ số diện tích và diện tích trong tam giác liên quan đến các đường đặc biệt trong tam giác được xác định theo số đo các góc trong hoặc các cạnh của nó cũng là một bài toán thú vị khi dạy giải toán hình học cho học sinh, nhất là bồi dưỡng học sinh giỏi Máy tính cầm tay.

1. Bài toán mở đầu: Tính tỉ số diện tích tam giác liên quan đến trung tuyến: Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AA’, BB’ và CC’. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A’B’C’. Tính tỉ số giữa S’ và S. GIẢI: Đây là bài toán dễ cho học sinh. Có thể nêu vài cách tính tỉ số này như sau. A

C’ B’

B A’ C

Cách 1: Vì hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng theo tỉ 1/2 nên ta có:

.

Cách 2: Dùng phương pháp trừ diện tích: ký hiệu SAC’B’ là diện tích tam giác AC’B’, ta có:

Cách 3: Vì hai tam giác A’B’C’ và AC’B’ bằng nhau, dễ thấy ,

suy ra .

2 ' 1 1 2 4 S

S

       

' ' ' ' ' ' ' '

1 1 ' 1 ' 3 3.4 4 4 AB C BC A CA B AB C

S S S S S S S S S S S S           

2 ' ' 1 1 2 4

AC B S

S

        ' 1 4 S

S 

DeThi.edu.vn

Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com

Tỉ số diện tích trong tam giác 2

Cách 4: Tam giác A’B’C’ có cạnh đáy và đường cao tương ứng cùng bằng 1/2

cạnh đáy và đường cao tương ứng của tam giác ABC. Suy ra .

Vậy ta có: .

2. Tỉ số diện tích tam giác liên quan đến phân giác: Cho tam giác ABC có 3 cạnh BC = a, CA = b, AB = c, ba đường phân giác trong lần lượt là AA’, BB’ và CC’. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A’B’C’. Tính tỉ số giữa S’ và S. GIẢI: A

B’ C’

B A’ C Sử dụng tính chất chân đường phân giác trong của tam giác, xét điểm A’, ta có:

.

Do đó: Tương tự cho hai phân giác còn lại. Vậy:

Từ đây, ta có:

' 1 4 S

S 

' 1 4 S

S 

' . ' ' . ' ( ' ). ' ' A B AB AB AB AB BC A B A C A B BC A B A B A C AC AC AC AB AC          . ' ' . AC BC A C BC A B AB AC     . . ' , '

. . ' , ' ,

. . ' , ' .

AB BC AC BC A B A C AB AC AB AC AB AC BC AC B A B C AB BC AB BC AC AB BC AB C A C B AC BC AC BC

                   

' '

' '

' '

' ' . . ( )( )

' ' . . ( )( )

' ' . . ( )( )

AB C

ABC

BC A

ABC

CA B

ABC

S AB AC AB AC S AC AB AB BC AC BC

S BC BA AB BC S BA BC AC AB AC BC

S CA CB AC BC S CB CA AB AC AB BC

              

     

DeThi.edu.vn

Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com

Tỉ số diện tích trong tam giác 3

Cộng lại ta được:

Vậy:

3. Tỉ số diện tích tam giác liên quan đến đường cao: Cho tam giác ABC có ba đường cao lần lượt là AA’, BB’ và CC’. Gọi S và S’ lần lượt là diện tích các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng:

(xem Nguyễn Thái Sơn, tài liệu đã dẫn, trang 21- công thức dành cho tam giác nhọn) GIẢI: Trường hợp 1: Tam giác ABC nhọn A B’

C’

B A’ C Ta có:

Tương tự: Sử dụng phương pháp trừ diện tích, ta có:

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 ( )( ) ( )( ) ( )(

AB C BC A CA B

ABC ABC ABC

AB C BC A CA B

ABC

AB C BC A CA B

ABC

S S S bc ca ba S S S c a b a c b b a c b c a

S S S bc ca ba S c a b a c b b a c b c a

S S S bc ca ba S c a b a c b b a c b c

          

           

          

' ' '

)

2 1 = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

A B C

ABC

a

S bc ca ba abc S c a b a c b b a c b c a a b b c c a



            

2 ( )( )( ) S abc S a b …